Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

a) Ganímedes tiene una masa de $\mathrm{1,48}\cdot {10}^{23}\text{ kg}$ y orbita Júpiter con un período de 7,15 días. La órbita es aproximadamente una circunferencia de ${10}^6\text{ km}$ de radio. Calcule la energía cinética de Ganímedes por el movimiento orbital suponiendo que la órbita es circular. [0,7 puntos]

b) Escriba la relación entre la energía cinética y la energía potencial de un satélite en una órbita circular. [0,3 puntos]

c) Justifique la relación anterior. [0,7 puntos]

d) Determine la energía mecánica total de un satélite que tiene una energía cinética de $3\cdot {10}^{20}\text{ J}$. [0,3 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$; $E_p=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Gan}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{medes}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1,48</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">23</mn></msup><mtext> kg</mtext></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{orbita}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{7,15}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{La}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{aproximadamente}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{circunferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">6</mn></msup><mtext> km</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Gan}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{medes}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{circular.}}\mathbf{\text{[0,7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En una órbita circular el movimiento es uniforme, así que la velocidad es la longitud de la circunferencia dividida por el período:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$

Se expresan los datos en unidades del Sistema Internacional:

$r={10}^6\text{ km}={10}^9\text{ m}$

$T=\mathrm{7,15}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\cdot 86400=\mathrm{6,178}\cdot {10}^5\text{ s}$

$v={\displaystyle \frac{2\pi \cdot {10}^9}{\mathrm{6,178}\cdot {10}^5}}=\mathrm{1,017}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

Y la energía cinética:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{1,48}\cdot {10}^{23}\cdot (\mathrm{1,017}\cdot {10}^4{)}^2$

$E_c=\mathrm{7,66}\cdot {10}^{30}\text{ J}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular.}}\mathbf{\text{[0,3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$E_c=-{\displaystyle \frac{E_p}{2}}$

Es decir, la energía potencial es, en valor absoluto, el doble de la cinética, y de signo contrario.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{[0,7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En una órbita circular la única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, y es ella la que hace de fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

Se simplifica un factor $r$ y queda:

$m{v}^2=G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

La energía cinética es la mitad del primer miembro:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

Y la energía potencial gravitatoria es, precisamente, el segundo miembro cambiado de signo:

$E_p=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

Comparando las dos expresiones se obtiene la relación buscada:

$E_c=-{\displaystyle \frac{E_p}{2}}$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">20</mn></msup><mtext> J</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La energía mecánica es la suma de las dos, y con la relación anterior:

$E=E_c+E_p=E_c-2E_c=-E_c$

$E=-3\cdot {10}^{20}\text{ J}$

La energía mecánica es igual a la cinética cambiada de signo. Es negativa, como corresponde a un satélite ligado al planeta.