Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

a) El perihelio de Venus está a 0,7184 ua del Sol y el afelio, a 0,7282 ua. Determine la longitud del semieje mayor de la órbita de Venus. [0,5 puntos]

b) Calcule el período orbital en días de un planeta que girase alrededor del Sol con una órbita circular de 0,7184 ua de radio. [1,5 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$; masa del Sol $\approx 2\cdot {10}^{30}\text{ kg}$; $1\text{ ua}=149597871\text{ km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{perihelio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Venus}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{0,7184}}\mathbf{\text{ua}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sol}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{afelio,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{0,7282}}\mathbf{\text{ua.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{semieje}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Venus.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El perihelio y el afelio son los dos extremos del eje mayor de la elipse medidos desde el foco que ocupa el Sol, de modo que su suma es el eje mayor completo:

$r_p+r_a=2a\Rightarrow a={\displaystyle \frac{r_p+r_a}{2}}$

$a={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7184}+\mathrm{0,7282}}{2}}=\mathrm{0,7233}\text{ ua}$

El semieje mayor de la órbita de Venus mide $\mathrm{0,7233}\text{ ua}$. La órbita es casi circular: los dos radios extremos apenas se diferencian en un 1 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{girase}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sol}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,7184}}\mathbf{\text{ua}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

La velocidad se puede escribir en función del período, porque el movimiento es circular uniforme:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$

Sustituyendo y simplificando la masa del planeta:

${\displaystyle \frac{GM}{r^2}}={\displaystyle \frac{1}{r}}{\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}}\Rightarrow T^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{GM}}$

que es la tercera ley de Kepler. Se expresa el radio en metros:

$r=\mathrm{0,7184}\cdot \mathrm{1,49597871}\cdot {10}^{11}=\mathrm{1,0747}\cdot {10}^{11}\text{ m}$

Y se sustituyen los datos:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{(\mathrm{1,0747}\cdot {10}^{11}{)}^3}{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot 2\cdot {10}^{30}}}}=2\pi \sqrt{\mathrm{9,299}\cdot {10}^{12}}$

$T=\mathrm{1,916}\cdot {10}^7\text{ s}$

Se pasa a días:

$T={\displaystyle \frac{\mathrm{1,916}\cdot {10}^7}{86400}}=\mathrm{221,8}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

El período sería de unos 222 días, muy próximo a los 224,7 días que tarda Venus de verdad: la pequeña diferencia se debe a que su órbita real tiene un semieje mayor algo mayor que ese radio.