Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Dadas las matrices $A$ y $B$,

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & x \\ 4 & 6 & 8 \\ 6 & 9 & 12 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},$

a) Calcule $A \cdot B$ y $(A \cdot B)^{t}$, donde la «t» indica matriz traspuesta. [4 puntos]

b) ¿Es posible calcular $B^2$? Si lo es, calcúlela. [1 punto]

c) Para los diferentes valores de $x$, calcule el rango de la matriz $A$. [5 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{A \cdot B}\textbf{ y } \boldsymbol{(A \cdot B)^{t}}\textbf{, donde la «t» indica matriz traspuesta. [4 puntos]}$

El producto está definido porque $A$ es $3\times 3$ y $B$ es $3\times 2$; el resultado será $3\times 2$.

$A\cdot B=\begin{pmatrix}2&3&x\\ 4&6&8\\ 6&9&12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\ 0&1\\ 1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+x&7\\ 12&14\\ 18&21\end{pmatrix}$

$(A\cdot B)^{t}=\begin{pmatrix}2+x&12&18\\ 7&14&21\end{pmatrix}$

$\textbf{b) ¿Es posible calcular } \boldsymbol{B^2}\textbf{? Si lo es, calcúlela. [1 punto]}$

Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera ha de coincidir con el de filas de la segunda.

$B\ \text{es}\ 3\times 2\Rightarrow B\cdot B:\ 2\neq 3$

No es posible calcular $B^2$: $B$ tiene 2 columnas y 3 filas, de modo que no puede multiplicarse por sí misma. Solo las matrices cuadradas se pueden elevar al cuadrado.

$\textbf{c) Para los diferentes valores de } \boldsymbol{x}\textbf{, calcule el rango de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{. [5 puntos]}$

Observamos primero que la tercera fila es proporcional a la segunda, lo que ya limita el rango sin necesidad de calcular nada.

$F_3=(6,9,12)=\dfrac{3}{2}\,(4,6,8)=\dfrac{3}{2}F_2\Rightarrow |A|=0\ \ \forall x$

El rango, por tanto, nunca llega a 3. Estudiamos si la primera fila es también proporcional a la segunda:

$\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2},\qquad \dfrac{x}{8}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=4$

Si $x=4$, las tres filas son proporcionales entre sí y solo queda una linealmente independiente:

$\operatorname{rg}(A)=1$

Si $x\neq 4$, la primera y la segunda fila no son proporcionales, y basta un menor de orden dos no nulo para confirmarlo:

$\begin{vmatrix}3&x\\ 6&8\end{vmatrix}=24-6x\neq 0\ \text{si}\ x\neq 4\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

El rango de $A$ vale 1 para $x=4$ y 2 para cualquier otro valor de $x$.