Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Dada la ecuación matricial

$M \cdot X + N = P,$

donde $X$ es la matriz incógnita y

$M = \begin{pmatrix} -1 & a \\ a & a \end{pmatrix}, \qquad N = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \qquad P = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.$

a) ¿Para qué valores del parámetro $a$ existe la matriz inversa de $M$? [1 punto]

b) Calcule la matriz inversa de $M$. [3 puntos]

c) Para $a = 2$, resuelva la ecuación matricial, si es posible. [3 puntos]

d) Para los valores de $a$ para los cuales existe la matriz inversa de $M$, resuelva la ecuación matricial. [3 puntos]

$\textbf{a) ¿Para qué valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ existe la matriz inversa de } \boldsymbol{M}\textbf{? [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula.

$|M|=\begin{vmatrix}-1&a\\ a&a\end{vmatrix}=-a-a^2=-a(1+a)$

$-a(1+a)=0\Rightarrow a=0\ \text{o}\ a=-1$

Existe la matriz inversa de $M$ para todo valor real de $a$ distinto de $0$ y de $-1$.

$\textbf{b) Calcule la matriz inversa de } \boldsymbol{M}\textbf{. [3 puntos]}$

En una matriz de orden dos la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo por el determinante.

$M^{-1}=\dfrac{1}{-a(1+a)}\begin{pmatrix}a&-a\\ -a&-1\end{pmatrix}$

$M^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{-1}{1+a}&\dfrac{1}{1+a}\\[2mm] \dfrac{1}{1+a}&\dfrac{1}{a(1+a)}\end{pmatrix},\qquad a\neq 0,\ a\neq -1$

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{a = 2}\textbf{, resuelva la ecuación matricial, si es posible. [3 puntos]}$

Con $a=2$ el determinante vale $-6\neq 0$, de modo que sí es posible. Despejamos la incógnita multiplicando por $M^{-1}$ por la izquierda.

$M\cdot X=P-N$

$P-N=\begin{pmatrix}5&6\\3&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&4\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\0&0\end{pmatrix}$

$X=M^{-1}(P-N)=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\[1mm] \frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\\0&0\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\\[1mm] \frac{2}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}$

$\textbf{d) Para los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para los cuales existe la matriz inversa de } \boldsymbol{M}\textbf{, resuelva la ecuación matricial. [3 puntos]}$

Repetimos el cálculo anterior dejando el parámetro sin sustituir.

$X=M^{-1}(P-N)=\dfrac{1}{-a(1+a)}\begin{pmatrix}a&-a\\ -a&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\\0&0\end{pmatrix}$

$=\dfrac{1}{-a(1+a)}\begin{pmatrix}2a&2a\\ -2a&-2a\end{pmatrix}=\dfrac{2a}{-a(1+a)}\begin{pmatrix}1&1\\ -1&-1\end{pmatrix}$

$X=\dfrac{-2}{1+a}\begin{pmatrix}1&1\\ -1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{-2}{1+a}&\dfrac{-2}{1+a}\\[2mm] \dfrac{2}{1+a}&\dfrac{2}{1+a}\end{pmatrix}$

Para $a=2$ se recupera la solución del apartado anterior, lo que sirve de comprobación.