Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Considere las matrices

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}.$

a) Calcule sus determinantes: $\det(\mathbf{A})$, $\det(\mathbf{B})$. [2 puntos]

b) Calcule la matriz producto $\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$ y la matriz traspuesta $(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A})^{t}$. [3 puntos]

c) Para que se cumpla la relación $\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$, ¿cuántas filas y columnas ha de tener la matriz $\mathbf{X}$? [2 puntos]

d) Calcule la matriz $\mathbf{X}$ que satisface la relación $\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$. [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule sus determinantes: } \boldsymbol{\det(\mathbf{A})}\textbf{, } \boldsymbol{\det(\mathbf{B})}\textbf{. [2 puntos]}$

En una matriz de orden dos el determinante es la diferencia de los productos de las dos diagonales.

$\det(\mathbf{A})=\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}=0-2=-2$

$\det(\mathbf{B})=\begin{vmatrix}3&1\\2&-5\end{vmatrix}=-15-2=-17$

$\textbf{b) Calcule la matriz producto } \boldsymbol{\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}}\textbf{ y la matriz traspuesta } \boldsymbol{(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A})^{t}}\textbf{. [3 puntos]}$

Multiplicamos fila por columna y después cambiamos filas por columnas.

$\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}=\begin{pmatrix}3&1\\2&-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&6\\ -3&4\end{pmatrix}$

$(\mathbf{B}\cdot\mathbf{A})^{t}=\begin{pmatrix}4&-3\\ 6&4\end{pmatrix}$

$\textbf{c) Para que se cumpla la relación } \boldsymbol{\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}}\textbf{, ¿cuántas filas y columnas ha de tener la matriz } \boldsymbol{\mathbf{X}}\textbf{? [2 puntos]}$

Para que el producto $\mathbf{A}\cdot\mathbf{X}$ esté definido, $\mathbf{X}$ ha de tener tantas filas como columnas tiene $\mathbf{A}$, es decir, 2. Y para que el resultado sea igual a $\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}$, que es de orden $2\times 2$, ha de tener 2 columnas.

La matriz $\mathbf{X}$ es de orden $2\times 2$: dos filas y dos columnas.

$\textbf{d) Calcule la matriz } \boldsymbol{\mathbf{X}}\textbf{ que satisface la relación } \boldsymbol{\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}}\textbf{. [3 puntos]}$

La incógnita está multiplicada por la izquierda, de modo que multiplicamos por $\mathbf{A}^{-1}$ también por la izquierda. Existe, porque $\det(\mathbf{A})=-2\neq 0$.

$\mathbf{A}^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix}0&-2\\ -1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

$\mathbf{X}=\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{A})=\begin{pmatrix}0&1\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&6\\ -3&4\end{pmatrix}$

$\mathbf{X}=\begin{pmatrix}-3&4\\ \frac{7}{2}&1\end{pmatrix}$

Esa es la matriz buscada, como se comprueba multiplicando $\mathbf{A}\cdot\mathbf{X}$ y recuperando $\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}$.