Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Sea la matriz

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.$

a) Calcule $A^{t}$, $A^2$ y $A^{-1}$, donde $A^{t}$ es la matriz traspuesta y $A^{-1}$ la inversa. [3 puntos]

b) Sea $I$ la matriz identidad. Resuelva $X$ de la ecuación

$A^2 - 2AX + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}.$ [3 puntos]

c) Calcule todas las matrices $B$ para las cuales se tiene que $A \cdot B = B \cdot A^{t}$. [4 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{A^{t}}\textbf{, } \boldsymbol{A^2}\textbf{ y } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{, donde } \boldsymbol{A^{t}}\textbf{ es la matriz traspuesta y } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{ la inversa. [3 puntos]}$

La traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas y el cuadrado, multiplicando la matriz por sí misma.

$A^{t}=\begin{pmatrix}1&2\\ 1&1\end{pmatrix}$

$A^2=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\ 4&3\end{pmatrix}$

Para la inversa comprobamos primero que el determinante no se anula.

$|A|=1-2=-1\neq 0$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\begin{pmatrix}1&-1\\ -2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\ 2&-1\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Sea } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz identidad. Resuelva } \boldsymbol{X}\textbf{ de la ecuación } \boldsymbol{A^2 - 2AX + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}}\textbf{. [3 puntos]}$

Aislamos el término que contiene la incógnita y despejamos multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$.

$2AX=A^2+I-\begin{pmatrix}2&0\\0&-4\end{pmatrix}$

$A^2+I=\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\4&4\end{pmatrix}$

$2AX=\begin{pmatrix}4&2\\4&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\4&8\end{pmatrix}$

$AX=\begin{pmatrix}1&1\\2&4\end{pmatrix}$

$X=A^{-1}\begin{pmatrix}1&1\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\ 2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\ 0&-2\end{pmatrix}$

$\textbf{c) Calcule todas las matrices } \boldsymbol{B}\textbf{ para las cuales se tiene que } \boldsymbol{A \cdot B = B \cdot A^{t}}\textbf{. [4 puntos]}$

Escribimos la matriz incógnita con sus cuatro elementos y desarrollamos los dos productos, que después igualamos posición por posición.

$B=\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}$

$A\cdot B=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p+r&q+s\\ 2p+r&2q+s\end{pmatrix}$

$B\cdot A^{t}=\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\ 1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p+q&2p+q\\ r+s&2r+s\end{pmatrix}$

Igualando las cuatro posiciones:

$\begin{cases}p+r=p+q\\ q+s=2p+q\\ 2p+r=r+s\\ 2q+s=2r+s\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}r=q\\ s=2p\end{cases}$

Las cuatro ecuaciones se reducen a dos, porque la tercera y la cuarta repiten lo que dicen la segunda y la primera. Quedan, pues, dos parámetros libres.

$B=\begin{pmatrix}p&q\\ q&2p\end{pmatrix},\quad p,q\in\mathbb{R}$

Todas las matrices de esa forma, y solo ellas, cumplen $A\cdot B=B\cdot A^{t}$.