Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Dada la matriz

$A = \begin{pmatrix} a^2 & a & a \\ a & a^2 & 1 \\ a & 1 & a^2 \end{pmatrix},$

a) Estudie el rango de la matriz $A$ según los valores de $a$. [6 puntos]

b) Determine para qué valores de $a$ la matriz $A$ es invertible. [1 punto]

c) Para el valor de $a = -1$, calcule la solución, $X$, de la ecuación matricial

$A \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$ [3 puntos]

$\textbf{a) Estudie el rango de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{. [6 puntos]}$

Mientras el determinante no se anule el rango es 3, así que empezamos por él. Desarrollamos por la primera fila.

$|A|=a^2(a^4-1)-a(a^3-a)+a(a-a^3)$

$|A|=a^6-a^2-a^4+a^2+a^2-a^4=a^6-2a^4+a^2$

$|A|=a^2\left(a^4-2a^2+1\right)=a^2\left(a^2-1\right)^2$

$|A|=0\Rightarrow a=0,\ a=1,\ a=-1$

Si $a\neq 0$, $a\neq 1$ y $a\neq -1$, entonces $|A|\neq 0$ y $\operatorname{rg}(A)=3$.

Si $a=0$:

$A=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

Si $a=1$:

$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}$

Las tres filas son iguales, luego solo hay una linealmente independiente y $\operatorname{rg}(A)=1$.

Si $a=-1$:

$A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\ -1&1&1\\ -1&1&1\end{pmatrix}$

La segunda y la tercera fila son iguales y la primera es su opuesta, de modo que $\operatorname{rg}(A)=1$.

En resumen: el rango vale 3 para todo $a$ distinto de $0$, $1$ y $-1$; vale 2 para $a=0$; y vale 1 para $a=1$ y $a=-1$.

$\textbf{b) Determine para qué valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ es invertible. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no se anula, o equivalentemente si su rango es máximo.

$|A|=a^2(a^2-1)^2\neq 0\Leftrightarrow a\neq 0,\ a\neq 1,\ a\neq -1$

La matriz $A$ es invertible para todo valor real de $a$ distinto de $0$, $1$ y $-1$.

$\textbf{c) Para el valor de } \boldsymbol{a = -1}\textbf{, calcule la solución, } \boldsymbol{X}\textbf{, de la ecuación matricial. [3 puntos]}$

Se trata de un sistema homogéneo, que siempre es compatible porque admite al menos la solución nula. Como para $a=-1$ el rango es 1, habrá infinitas soluciones con dos grados de libertad.

$\begin{pmatrix}1&-1&-1\\ -1&1&1\\ -1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$

Las tres ecuaciones se reducen a una sola, ya que la segunda y la tercera son la primera cambiada de signo:

$x-y-z=0\Rightarrow x=y+z$

Tomamos $y=\lambda$ y $z=\mu$ como parámetros:

$X=\begin{pmatrix}\lambda+\mu\\ \lambda\\ \mu\end{pmatrix},\quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}$

La ecuación tiene infinitas soluciones, todas las de esa forma; entre ellas, la trivial $X=(0,0,0)^{\top}$ para $\lambda=\mu=0$.