Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Considere las matrices

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ \lambda & 2 & -1 \\ 2 & \lambda & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} \lambda & 3\lambda & 6 \end{pmatrix}.$

a) Calcule el determinante de la matriz $A$. [1 punto]

b) En función del parámetro $\lambda$, calcule el rango de la matriz $A$. [3 puntos]

c) Para el valor de $\lambda = 1$, calcule la matriz inversa de $A$, $A^{-1}$. [3 puntos]

d) Para el valor de $\lambda = 1$, resuelva la ecuación matricial $XA = B$. [3 puntos]

$\textbf{a) Calcule el determinante de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{. [1 punto]}$

Desarrollamos por la primera fila.

$|A|=\begin{vmatrix}1&1&-1\\ \lambda&2&-1\\ 2&\lambda&-1\end{vmatrix}$

$|A|=1(-2+\lambda)-1(-\lambda+2)-1(\lambda^2-4)$

$|A|=-2+\lambda+\lambda-2-\lambda^2+4=-\lambda^2+2\lambda$

$|A|=-\lambda(\lambda-2)$

$\textbf{b) En función del parámetro } \boldsymbol{\lambda}\textbf{, calcule el rango de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{. [3 puntos]}$

Mientras el determinante no se anule el rango es máximo, así que empezamos por sus raíces.

$-\lambda(\lambda-2)=0\Rightarrow \lambda=0\ \text{o}\ \lambda=2$

Si $\lambda\neq 0$ y $\lambda\neq 2$, entonces $|A|\neq 0$ y $\operatorname{rg}(A)=3$.

Si $\lambda=0$:

$A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\ 0&2&-1\\ 2&0&-1\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}=2\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

Si $\lambda=2$:

$A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\ 2&2&-1\\ 2&2&-1\end{pmatrix}$

La segunda y la tercera fila son iguales, luego el rango no llega a 3. Con el menor de las dos primeras filas y las columnas primera y tercera:

$\begin{vmatrix}1&-1\\2&-1\end{vmatrix}=-1+2=1\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

El rango de $A$ es 3 para todo $\lambda$ distinto de 0 y de 2, y vale 2 para esos dos valores.

$\textbf{c) Para el valor de } \boldsymbol{\lambda = 1}\textbf{, calcule la matriz inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{. [3 puntos]}$

$A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\ 1&2&-1\\ 2&1&-1\end{pmatrix},\qquad |A|=-1(1-2)=1\neq 0$

Existe la inversa. Aplicamos la fórmula con la adjunta de la traspuesta.

$A^{\top}=\begin{pmatrix}1&1&2\\ 1&2&1\\ -1&-1&-1\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{\operatorname{Adj}(A^{\top})}{|A|}=\begin{pmatrix}-1&0&1\\ -1&1&0\\ -3&1&1\end{pmatrix}$

Comprobamos multiplicando:

$A\,A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&-1\\ 1&2&-1\\ 2&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\\ -1&1&0\\ -3&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

$\textbf{d) Para el valor de } \boldsymbol{\lambda = 1}\textbf{, resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{XA = B}\textbf{. [3 puntos]}$

La incógnita multiplica por la izquierda, de modo que hay que multiplicar por $A^{-1}$ por la derecha para despejarla.

$XAA^{-1}=BA^{-1}\Rightarrow X=BA^{-1}$

Para $\lambda=1$ el enunciado da $B=\begin{pmatrix}1&3&6\end{pmatrix}$, que es una matriz fila, así que $X$ también lo será.

$X=\begin{pmatrix}1&3&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&1\\ -1&1&0\\ -3&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-22&9&7\end{pmatrix}$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}-22&9&7\end{pmatrix}$, como se comprueba multiplicando $XA$ y recuperando $B$.