Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Sea $A$ una matriz invertible $n \times n$ con coeficientes reales tal que cumple la igualdad $A^2 + A = I$. Entonces:

a) ¿Satisface la matriz

$M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

las condiciones del enunciado? Es decir, ¿cumple $M$ la igualdad del enunciado y, además, es invertible? [3 puntos]

Volviendo a considerar que $A$ es una matriz cualquiera que satisface las condiciones del enunciado:

b) Calcule la inversa de $A$. [3 puntos]

c) Compruebe que se satisface la igualdad $A(B + A) - I = A(B - I)$, siendo $B$ una matriz cuadrada cualquiera $n \times n$ con coeficientes reales. [4 puntos]

$\textbf{a) ¿Satisface la matriz } \boldsymbol{M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}\textbf{ las condiciones del enunciado? Es decir, ¿cumple } \boldsymbol{M}\textbf{ la igualdad del enunciado y, además, es invertible? [3 puntos]}$

Hay que comprobar dos cosas por separado: que se verifica la igualdad y que el determinante no se anula.

$M^2=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$

$M^2+M=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$

$|M|=\begin{vmatrix}0&-1\\-1&-1\end{vmatrix}=0-1=-1\neq 0$

Sí, la matriz $M$ cumple las dos condiciones: verifica $M^2+M=I$ y es invertible, porque su determinante vale $-1$.

$\textbf{b) Calcule la inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{. [3 puntos]}$

Reescribimos la igualdad de forma que aparezca un producto de $A$ por otra matriz igual a la identidad, que es lo que define la inversa.

$A^2+A=I$

$A(A+I)=I$

Multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda:

$A^{-1}A(A+I)=A^{-1}I\Rightarrow A^{-1}=A+I$

La inversa de $A$ es $A^{-1}=A+I$. Nótese que la propia igualdad ya demostraba que $A$ es invertible, sin necesidad de suponerlo.

$\textbf{c) Compruebe que se satisface la igualdad } \boldsymbol{A(B + A) - I = A(B - I)}\textbf{, siendo } \boldsymbol{B}\textbf{ una matriz cuadrada cualquiera } \boldsymbol{n \times n}\textbf{ con coeficientes reales. [4 puntos]}$

Desarrollamos el primer miembro usando la propiedad distributiva y sustituimos $A^2$ por lo que vale según el enunciado.

$A(B+A)-I=AB+A^2-I$

$A^2+A=I\Rightarrow A^2=I-A$

$AB+A^2-I=AB+(I-A)-I=AB-A$

Sacando $A$ como factor común por la izquierda:

$AB-A=AB-AI=A(B-I)$

Queda demostrado que $A(B+A)-I=A(B-I)$ para cualquier matriz cuadrada $B$ del mismo orden, sin necesidad de que $B$ cumpla ninguna condición adicional.