Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Considere la matriz $M$ y el vector $\mathbf{b}$,

$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & a \\ a + 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},$

respectivamente.

a) Indique para qué valores de $a$ la matriz $M$ es invertible. [3 puntos]

b) Calcule, para todos los valores de $a$ que sea posible, la inversa de $M$. [3 puntos]

c) Calcule, para el caso $a = 0$, el vector $\mathbf{x}$ tal que $M\mathbf{x} = \mathbf{b}$. [4 puntos]

$\textbf{a) Indique para qué valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ la matriz } \boldsymbol{M}\textbf{ es invertible. [3 puntos]}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero, así que empezamos calculándolo. Desarrollamos por la segunda fila, que tiene un cero.

$|M|=\begin{vmatrix}2&1&a\\ a+1&0&1\\ 1&1&1\end{vmatrix}$

$|M|=2(0\cdot 1-1\cdot 1)-1\left[(a+1)\cdot 1-1\cdot 1\right]+a\left[(a+1)\cdot 1-0\cdot 1\right]$

$|M|=-2-a+a^2+a=a^2-2$

$|M|=0\Rightarrow a^2=2\Rightarrow a=\pm\sqrt{2}$

La matriz $M$ es invertible para todo valor real de $a$ distinto de $\sqrt{2}$ y de $-\sqrt{2}$.

$\textbf{b) Calcule, para todos los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ que sea posible, la inversa de } \boldsymbol{M}\textbf{. [3 puntos]}$

Usamos la fórmula de la inversa a partir de la matriz adjunta de la traspuesta, válida siempre que $a\neq\pm\sqrt{2}$.

$M^{\top}=\begin{pmatrix}2&a+1&1\\ 1&0&1\\ a&1&1\end{pmatrix}$

Calculamos los nueve adjuntos de $M^{\top}$, alternando el signo según la posición:

$\operatorname{Adj}(M^{\top})=\begin{pmatrix}-1&a-1&1\\ -a&2-a&a^2+a-2\\ a+1&-1&-a-1\end{pmatrix}$

$M^{-1}=\dfrac{\operatorname{Adj}(M^{\top})}{|M|}=\dfrac{1}{a^2-2}\begin{pmatrix}-1&a-1&1\\ -a&2-a&a^2+a-2\\ a+1&-1&-a-1\end{pmatrix}$

Esa es la inversa de $M$ para cualquier $a\neq\pm\sqrt{2}$; para esos dos valores la matriz no tiene inversa.

$\textbf{c) Calcule, para el caso } \boldsymbol{a = 0}\textbf{, el vector } \boldsymbol{\mathbf{x}}\textbf{ tal que } \boldsymbol{M\mathbf{x} = \mathbf{b}}\textbf{. [4 puntos]}$

Para $a=0$ se tiene $|M|=-2\neq 0$, de modo que el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos directamente por sustitución, que es más corto que invertir la matriz.

$M=\begin{pmatrix}2&1&0\\ 1&0&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}2x+y=0\\ x+z=1\\ x+y+z=1\end{cases}$

De la primera ecuación, $y=-2x$. Sustituyendo en la tercera:

$x-2x+z=1\Rightarrow -x+z=1$

Y restando esta de la segunda ecuación:

$(x+z)-(-x+z)=1-1\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$

$y=-2\cdot 0=0,\qquad z=1-0=1$

El vector buscado es $\mathbf{x}=(0,0,1)^{\top}$, como se comprueba sin más que multiplicar $M\mathbf{x}$ y recuperar $\mathbf{b}$.