Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Sea $I_3$ la matriz identidad de orden $3 \times 3$ y $A$ la matriz

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$

a) Calcule la matriz $B = 3A - kI_3$, indicando su expresión en función del parámetro real $k$. [4 puntos]

b) Discuta el rango de la matriz $B$ según el parámetro $k$. [4 puntos]

c) ¿Para qué valores de $k$ se puede calcular la inversa de $B$? Justifique la respuesta. [2 puntos]

$\textbf{a) Calcule la matriz } \boldsymbol{B = 3A - kI_3}\textbf{, indicando su expresión en función del parámetro real } \boldsymbol{k}\textbf{. [4 puntos]}$

Multiplicar por 3 afecta a todos los elementos, mientras que restar $kI_3$ solo afecta a la diagonal principal.

$3A=\begin{pmatrix}3&0&0\\6&0&0\\-6&3&3\end{pmatrix},\qquad kI_3=\begin{pmatrix}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\end{pmatrix}$

$B=3A-kI_3=\begin{pmatrix}3-k&0&0\\6&-k&0\\-6&3&3-k\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Discuta el rango de la matriz } \boldsymbol{B}\textbf{ según el parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{. [4 puntos]}$

Empezamos por el determinante: mientras no se anule, el rango es 3. La matriz es triangular inferior, de modo que el determinante es el producto de la diagonal.

$|B|=(3-k)\cdot(-k)\cdot(3-k)=-k(3-k)^2$

$|B|=0\Rightarrow k=0\ \text{o}\ k=3$

Si $k\neq 0$ y $k\neq 3$, $|B|\neq 0$ y $\operatorname{rg}(B)=3$.

Si $k=0$:

$B=\begin{pmatrix}3&0&0\\6&0&0\\-6&3&3\end{pmatrix}$

La segunda fila es el doble de la primera, así que no aporta rango. Con la primera y la tercera:

$\begin{vmatrix}3&0\\-6&3\end{vmatrix}=9\neq 0\Rightarrow \operatorname{rg}(B)=2$

Si $k=3$:

$B=\begin{pmatrix}0&0&0\\6&-3&0\\-6&3&0\end{pmatrix}$

La primera fila es nula y la tercera es la opuesta de la segunda, de modo que solo queda una fila linealmente independiente:

$\operatorname{rg}(B)=1$

En resumen: el rango de $B$ es 3 si $k\neq 0$ y $k\neq 3$, es 2 si $k=0$ y es 1 si $k=3$.

$\textbf{c) ¿Para qué valores de } \boldsymbol{k}\textbf{ se puede calcular la inversa de } \boldsymbol{B}\textbf{? Justifique la respuesta. [2 puntos]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, o lo que es lo mismo, si su rango es máximo.

$|B|=-k(3-k)^2\neq 0\Leftrightarrow k\neq 0\ \text{y}\ k\neq 3$

Se puede calcular la inversa de $B$ para todo valor real de $k$ distinto de 0 y de 3, que son precisamente los casos en que el rango baja de 3 y la matriz deja de ser regular.