Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Consideremos las matrices $A$ de dimensión $3 \times 3$ que satisfacen que $3A + I = A^2$, donde $I$ es la matriz identidad de dimensión $3 \times 3$.

a) Calcule la expresión de la matriz inversa de $A$. [3 puntos]

b) Dada la ecuación matricial

$A + 3AX = 5I,$

donde $A$ es una de las matrices del enunciado, calcule, en función solo de la matriz $A$ (no de su inversa) y de la identidad $I$, la matriz $X$. ¿Qué dimensión tiene la matriz $X$? Justifique la respuesta. [3 puntos]

c) Calcule todas las matrices de la forma

$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$

que satisfacen las condiciones del enunciado. [4 puntos]

$\textbf{a) Calcule la expresión de la matriz inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{. [3 puntos]}$

Se trata de escribir la igualdad de forma que aparezca el producto de $A$ por otra matriz dando la identidad, porque esa otra matriz es entonces la inversa.

$3A+I=A^2$

$I=A^2-3A$

$I=A(A-3I)$

De paso, esto demuestra que $A$ es invertible, ya que hemos encontrado una matriz que multiplicada por ella da la identidad.

$A^{-1}=A-3I$

$\textbf{b) Dada la ecuación matricial } \boldsymbol{A + 3AX = 5I}\textbf{, donde } \boldsymbol{A}\textbf{ es una de las matrices del enunciado, calcule, en función solo de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ (no de su inversa) y de la identidad } \boldsymbol{I}\textbf{, la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{. ¿Qué dimensión tiene la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{? Justifique la respuesta. [3 puntos]}$

Aislamos el término que contiene la incógnita y multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$.

$3AX=5I-A$

$X=\dfrac{1}{3}A^{-1}(5I-A)$

Sustituimos la inversa por su expresión del apartado anterior:

$X=\dfrac{1}{3}(A-3I)(5I-A)=\dfrac{1}{3}\left(5A-A^2-15I+3A\right)=\dfrac{1}{3}\left(8A-A^2-15I\right)$

Todavía queda un $A^2$, que el enunciado permite eliminar:

$A^2=3A+I$

$X=\dfrac{1}{3}\left(8A-3A-I-15I\right)=\dfrac{1}{3}\left(5A-16I\right)$

$X=\dfrac{5A-16I}{3}$

La matriz $X$ es $3\times 3$: para que el producto $AX$ esté definido, $X$ debe tener tantas filas como columnas tiene $A$, es decir, 3; y para que la suma con $5I$ tenga sentido, el resultado ha de ser $3\times 3$, luego $X$ tiene también 3 columnas.

$\textbf{c) Calcule todas las matrices de la forma } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}}\textbf{ que satisfacen las condiciones del enunciado. [4 puntos]}$

Imponemos la condición $A^2=3A+I$ e igualamos elemento a elemento. Calculamos primero el cuadrado:

$A^2=\begin{pmatrix}a&1&0\\1&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&1&0\\1&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+1&a+b&0\\a+b&1+b^2&0\\0&0&c^2\end{pmatrix}$

$3A+I=\begin{pmatrix}3a+1&3&0\\3&3b+1&0\\0&0&3c+1\end{pmatrix}$

Igualando las posiciones que no son idénticamente nulas se obtienen cuatro ecuaciones:

$\begin{cases}a^2+1=3a+1\\ a+b=3\\ 1+b^2=3b+1\\ c^2=3c+1\end{cases}$

De la primera y la tercera:

$a^2=3a\Rightarrow a(a-3)=0\Rightarrow a=0\ \text{o}\ a=3$

$b^2=3b\Rightarrow b(b-3)=0\Rightarrow b=0\ \text{o}\ b=3$

La segunda ecuación, $a+b=3$, obliga a emparejarlos, de modo que solo sirven $(a,b)=(0,3)$ y $(a,b)=(3,0)$.

La cuarta es independiente de las anteriores:

$c^2-3c-1=0\Rightarrow c=\dfrac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\dfrac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

Combinando las dos posibilidades de $(a,b)$ con las dos de $c$ resultan cuatro matrices:

$\begin{pmatrix}0&1&0\\1&3&0\\0&0&\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}3&1&0\\1&0&0\\0&0&\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\end{pmatrix}$

Hay, pues, cuatro matrices de esa forma que cumplen las condiciones del enunciado.