Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Sean $A$ y $B$ dos matrices $3 \times 3$ tales que $A$ es invertible. Sea $I$ la matriz identidad de dimensión $3 \times 3$.

a) Sabiendo que $AB + I = A$, calcule la inversa de $A$ en función de $I$ y $B$. [1 punto]

b) Sabiendo que $A$ y su inversa $A^{-1}$ son tales que

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix},$

calcule la matriz $B$ que satisface la igualdad $AB + I = A$. ¿Es $B$ invertible? Justifique la respuesta. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Sabiendo que } \boldsymbol{AB + I = A}\textbf{, calcule la inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{ en función de } \boldsymbol{I}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. [1 punto]}$

Se despeja $A^{-1}$ de la igualdad matricial sacando $A$ como factor común por la izquierda, que es el lado por el que multiplica en los dos términos donde aparece.

$AB+I=A$

$I=A-AB$

$I=A(I-B)$

Multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda, que existe porque el enunciado dice que $A$ es invertible:

$A^{-1}I=A^{-1}A(I-B)\Rightarrow A^{-1}=I-B$

La inversa de $A$ es $A^{-1}=I-B$.

$\textbf{b) Sabiendo que } \boldsymbol{A}\textbf{ y su inversa } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{ son tales que } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}}\textbf{, } \boldsymbol{A^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{, calcule la matriz } \boldsymbol{B}\textbf{ que satisface la igualdad } \boldsymbol{AB + I = A}\textbf{. ¿Es } \boldsymbol{B}\textbf{ invertible? Justifique la respuesta. [1,5 puntos]}$

Del apartado anterior sabemos que $A^{-1}=I-B$, de donde se despeja $B$ sin necesidad de resolver ninguna ecuación matricial nueva.

$A^{-1}=I-B\Rightarrow B=I-A^{-1}$

$B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}2&2&0\\-1&-1&1\\-3&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1&0\\ \dfrac{1}{2}&\dfrac{3}{2}&-\dfrac{1}{2}\\[2mm] \dfrac{3}{2}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$

Para decidir si es invertible calculamos su determinante, ya que una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si este no se anula.

$|B|=\begin{vmatrix}0&-1&0\\ \frac{1}{2}&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\ \frac{3}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{vmatrix}=0+\dfrac{3}{4}+0-0-0+\dfrac{1}{4}=1$

La matriz que satisface la igualdad es la $B$ obtenida y, como $|B|=1\neq 0$, sí es invertible.