Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Sean $A$ y $B$ dos matrices $3 \times 3$ tales que $A$ es invertible y

$AB + A + I = 2A,$

con $I$ la matriz identidad de dimensión $3 \times 3$.

a) Calcule la inversa de $A$ en función de $I$ y $B$. [1 punto]

b) Sean

$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},$

calcule $\mathbf{x}$ tal que $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, donde $A$ cumple la igualdad $AB + A + I = 2A$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{ en función de } \boldsymbol{I}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. [1 punto]}$

Se trata de despejar $A^{-1}$ de la igualdad matricial. Como el producto de matrices no es conmutativo, hay que cuidar por qué lado se multiplica en cada paso; aquí basta con agrupar y sacar $A$ como factor común por la izquierda.

$AB+A+I=2A$

$AB+I=2A-A=A$

$I=A-AB$

$I=A(I-B)$

Multiplicamos ahora por $A^{-1}$ por la izquierda, que existe porque el enunciado dice que $A$ es invertible:

$A^{-1}I=A^{-1}A(I-B)\Rightarrow A^{-1}=I-B$

La inversa de $A$ es $A^{-1}=I-B$.

$\textbf{b) Sean } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}\textbf{, calcule } \boldsymbol{\mathbf{x}}\textbf{ tal que } \boldsymbol{A\mathbf{x} = \mathbf{b}}\textbf{, donde } \boldsymbol{A}\textbf{ cumple la igualdad } \boldsymbol{AB + A + I = 2A}\textbf{. [1 punto]}$

No hace falta calcular $A$: multiplicando la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ por $A^{-1}$ por la izquierda se obtiene la incógnita directamente a partir de la inversa, que ya conocemos por el apartado anterior.

$A\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow A^{-1}A\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}\Rightarrow \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=(I-B)\,\mathbf{b}$

Calculamos la matriz $I-B$:

$I-B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&1&2\\1&1&1\\0&3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&-2\\-1&0&-1\\0&-3&0\end{pmatrix}$

Conviene comprobar que esta matriz es efectivamente invertible, pues es la inversa de $A$:

$|I-B|=\begin{vmatrix}1&-1&-2\\-1&0&-1\\0&-3&0\end{vmatrix}=-9\neq 0$

Y ya solo queda multiplicarla por el término independiente:

$\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1&-1&-2\\-1&0&-1\\0&-3&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\-3\end{pmatrix}$

La solución del sistema es $\mathbf{x}=(-1,0,-3)^{t}$.