Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Pregunta 1.2. Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$, se pide:

a) (1.5 puntos) Hallar las matrices simétricas $B$ que verifiquen $BA = (A+A^2)B$.

b) (1 punto) Con la matriz $A_1 = A$, se consideran las matrices $A_2 = A_1^2+A_1$, $A_3 = A_2^2+A_2$, $A_4 = A_3^2+A_3$ y así sucesivamente. Hallar $A_{2025}$.

$\textbf{a) (1,5 puntos) Hallar las matrices simétricas } \boldsymbol{B}\textbf{ que verifiquen } \boldsymbol{BA=(A+A^2)B}\textbf{.}$

Una matriz simétrica de orden dos tiene la forma que se indica, con tres parámetros. Calculamos primero la matriz que aparece a la derecha de la igualdad.

$B=\begin{pmatrix}a & b\\ b & c\end{pmatrix}$

$A^2=\begin{pmatrix}1 & 5\\ -1 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 5\\ -1 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & -10\\ 2 & 4\end{pmatrix} \Rightarrow A+A^2=\begin{pmatrix}-3 & -5\\ 1 & 1\end{pmatrix}$

Imponemos la igualdad y multiplicamos los dos miembros.

$\begin{pmatrix}a & b\\ b & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 5\\ -1 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & -5\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b\\ b & c\end{pmatrix}$

Igualando elemento a elemento se obtiene un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones.

$\begin{cases}a-b=-3a-5b\\ 5a-3b=-3b-5c\\ b-c=a+b\\ 5b-3c=b+c\end{cases}$

La tercera ecuación da $c=-a$ y la cuarta $b=-a$; las otras dos no añaden condiciones nuevas.

$a=\lambda \Rightarrow b=c=-\lambda$

$B=\begin{pmatrix}\lambda & -\lambda\\ -\lambda & -\lambda\end{pmatrix},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Hay, por tanto, infinitas matrices simétricas que cumplen la condición, todas múltiplos de la misma.

$\textbf{b) (1 punto) Con la matriz } \boldsymbol{A_1=A}\textbf{, se consideran las matrices } \boldsymbol{A_2=A_1^2+A_1}\textbf{, } \boldsymbol{A_3=A_2^2+A_2}\textbf{, } \boldsymbol{A_4=A_3^2+A_3}\textbf{ y así sucesivamente. Hallar } \boldsymbol{A_{2025}}\textbf{.}$

No hay que calcular dos mil términos: calculamos los primeros y buscamos un patrón que se repita. El segundo ya lo tenemos del apartado anterior.

$A_2=A_1^2+A_1=\begin{pmatrix}-3 & -5\\ 1 & 1\end{pmatrix}$

$A_2^2=\begin{pmatrix}4 & 10\\ -2 & -4\end{pmatrix} \Rightarrow A_3=A_2^2+A_2=\begin{pmatrix}1 & 5\\ -1 & -3\end{pmatrix}=A_1$

Al reaparecer $A_1$, la sucesión es periódica de periodo 2: los índices impares dan $A_1$ y los pares, $A_2$. Como 2025 es impar:

$A_{2025}=A_1=\begin{pmatrix}1 & 5\\ -1 & -3\end{pmatrix}$