Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2020

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & -3 & 0 \\ 4 & a-7 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Estudie el rango de la matriz $A$ para los diferentes valores del parámetro $a$. [1,25 puntos]
b) Compruebe que para $a = 4$ la matriz $A$ es invertible y que se verifica que $A^{-1} = A^2$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Estudie el rango de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ para los diferentes valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. (1,25 puntos)}$

La matriz es cuadrada de orden 3, así que su rango es 3 salvo que el determinante se anule. Lo calculamos.

$|A|=\begin{vmatrix} a & -3 & 0 \\ 4 & a-7 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}=-a(a-7)-3+0-\left(0-a+12\right)$

$|A|=-a^2+7a-3+a-12=-a^2+8a-15=-\left(a^2-8a+15\right)$

$|A|=-(a-3)(a-5)$

$|A|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ a=5 \end{cases}$

Si $a\neq 3$ y $a\neq 5$, entonces $|A|\neq 0$ y $\operatorname{ran}(A)=3$.

Si $a=3$ o $a=5$, el rango baja. Buscamos un menor de orden 2 no nulo, y hay uno que vale lo mismo sea cual sea $a$:

$\begin{vmatrix} -3 & 0 \\ a-7 & 1 \end{vmatrix}=-3\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

El rango de $A$ es 3 para todo $a\neq 3$ y $a\neq 5$, y es 2 para $a=3$ y para $a=5$.

$\textbf{b) Compruebe que para } \boldsymbol{a = 4}\textbf{ la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ es invertible y que se verifica que } \boldsymbol{A^{-1} = A^2}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Basta sustituir en el determinante del apartado anterior.

$A=\begin{pmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad |A|=-(4-3)(4-5)=-(1)(-1)=1\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, $A$ es invertible.

Para probar la igualdad no hace falta calcular la inversa: basta comprobar que $A\cdot A^2=I$, es decir, que $A^3=I$, porque entonces $A^2$ cumple la definición de matriz inversa de $A$.

$A^2=\begin{pmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & -3 & -3 \\ 5 & -4 & -4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$A^3=A\cdot A^2=\begin{pmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -3 & -3 \\ 5 & -4 & -4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

Como $A\cdot A^2=A^2\cdot A=I$, la matriz $A^2$ es la inversa de $A$.

$A^{-1}=A^2=\begin{pmatrix} 4 & -3 & -3 \\ 5 & -4 & -4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Para $a=4$ la matriz $A$ es invertible, con $|A|=1$, y se verifica que $A^{-1}=A^2$, porque $A^3=I$.