Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2020

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$.

a) Encuentre la matriz $X$ que satisface la ecuación $AX = I - 3X$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. [1,25 puntos]
b) Compruebe que la matriz $X$ es invertible y calcule su matriz inversa. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Encuentre la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que satisface la ecuación } \boldsymbol{AX = I - 3X}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de orden 2. (1,25 puntos)}$

Agrupamos en el primer miembro los términos que contienen $X$ y lo sacamos como factor común por la derecha, que es el lado por el que aparece en los dos sumandos.

$AX=I-3X \Rightarrow AX+3X=I$

$AX+3IX=I \Rightarrow (A+3I)\,X=I$

El paso clave es escribir $3X=3IX$: sin la identidad no se podría sacar factor común, porque $A$ y el número 3 no se suman.

$A+3I=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$

$|A+3I|=4\cdot(-1)-1\cdot(-3)=-4+3=-1\neq 0$

Como el determinante no es nulo, $A+3I$ es invertible y $X=(A+3I)^{-1}$.

$X=(A+3I)^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado, que curiosamente coincide con la propia matriz $A$:

$AX=A^2=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 9 & 13 \end{pmatrix}$

$I-3X=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -9 & -12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 9 & 13 \end{pmatrix}$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$, que resulta ser la propia $A$.

$\textbf{b) Compruebe que la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ es invertible y calcule su matriz inversa. (1,25 puntos)}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

$|X|=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{vmatrix}=1\cdot(-4)-1\cdot(-3)=-4+3=-1\neq 0$

Luego $X$ es invertible. Para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo por el determinante.

$X^{-1}=\dfrac{1}{|X|}\begin{pmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$

$X\cdot X^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4-3 & 1-1 \\ -12+12 & -3+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

La matriz $X$ es invertible, con $|X|=-1$, y su inversa es $X^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$, que es justamente la matriz $A+3I$ del apartado anterior.