Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2021

a) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, resuelva la ecuación matricial $A^2 X = A - 3I$, donde $I$ es la matriz identidad. [1,25 puntos]
b) Una matriz cuadrada $M$ satisface que $M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0$, donde $I$ es la matriz identidad. Justifique que $M$ es invertible y exprese la inversa de $M$ en función de las matrices $M$ e $I$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Dada la matriz } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}}\textbf{, resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{A^2 X = A - 3I}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad. (1,25 puntos)}$

Para despejar $X$ hay que multiplicar por la izquierda por la inversa de $A^2$, así que empezamos calculando las potencias de $A$.

$A^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^3=A^2\cdot A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

De $A^3=I$ se deduce que $A^2\cdot A=I$, es decir, que $A^2$ es invertible y su inversa es $A$. Esto ahorra todo el cálculo de una inversa.

$\left(A^2\right)^{-1}=A$

$A^2X=A-3I \Rightarrow A\,A^2X=A\,(A-3I) \Rightarrow X=A^2-3A$

$X=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}-3\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}$.

$\textbf{b) Una matriz cuadrada } \boldsymbol{M}\textbf{ satisface que } \boldsymbol{M^3 - 3M^2 + 3M - I = 0}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad. Justifique que } \boldsymbol{M}\textbf{ es invertible y exprese la inversa de } \boldsymbol{M}\textbf{ en función de las matrices } \boldsymbol{M}\textbf{ e } \boldsymbol{I}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Una matriz es invertible si existe otra cuyo producto por ella da la identidad, así que despejamos $I$ y sacamos $M$ como factor común.

$M^3-3M^2+3M-I=O \Rightarrow M^3-3M^2+3M=I$

$M\left(M^2-3M+3I\right)=I$

El factor común se puede sacar por la izquierda o por la derecha, porque $M$ conmuta con sus propias potencias y con la identidad:

$\left(M^2-3M+3I\right)M=M^3-3M^2+3M=I$

Al cumplirse el producto en los dos órdenes, la matriz $M^2-3M+3I$ es la inversa de $M$; en particular, $M$ es invertible.

$M^{-1}=M^2-3M+3I$

La matriz $M$ es invertible y su inversa es $M^{-1}=M^2-3M+3I$.