Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2022

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & a & 3 \\ 2a & 5 & 3a \\ 7 & 4a & 9 \end{pmatrix}$, que depende del parámetro $a$.

a) Calcule el rango de la matriz $A$ para los diferentes valores del parámetro $a$. [1,25 puntos]
b) Si $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, resuelva la ecuación matricial siguiente: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule el rango de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ para los diferentes valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{. (1,25 puntos)}$

La matriz es cuadrada de orden 3, así que su rango es 3 siempre que el determinante no se anule. Empezamos calculándolo.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & a & 3 \\ 2a & 5 & 3a \\ 7 & 4a & 9 \end{vmatrix}=45+21a^2+24a^2-\left(105+12a^2+18a^2\right)$

$|A|=45+45a^2-105-30a^2=15a^2-60=15\left(a^2-4\right)=15(a-2)(a+2)$

$|A|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ a=-2 \end{cases}$

Si $a\neq 2$ y $a\neq -2$, entonces $|A|\neq 0$ y $\operatorname{ran}(A)=3$.

Si $a=2$ o $a=-2$, el determinante se anula y el rango baja. Buscamos un menor de orden 2 no nulo, y basta uno que valga lo mismo en los dos casos.

$\begin{vmatrix} 1 & a \\ 2a & 5 \end{vmatrix}=5-2a^2$

$a=\pm 2 \Rightarrow 5-2\cdot 4=-3\neq 0 \Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

El rango de $A$ es 3 para todo $a\neq \pm 2$, y es 2 para $a=2$ y para $a=-2$.

$\textbf{b) Si } \boldsymbol{X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}}\textbf{, resuelva la ecuación matricial siguiente: } \boldsymbol{\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}\textbf{. (1,25 puntos)}$

La matriz del enunciado es la del apartado anterior para $a=2$, así que ya sabemos que su rango es 2. Se trata de un sistema homogéneo, que siempre es compatible; como el rango es menor que el número de incógnitas, es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones además de la trivial.

$\begin{cases} x+2y+3z=0 \\ 4x+5y+6z=0 \\ 7x+8y+9z=0 \end{cases}$

Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones, que son las del menor no nulo, y pasamos $z$ al segundo miembro.

$\begin{cases} x+2y=-3z \\ 4x+5y=-6z \end{cases}$

Restando a la segunda ecuación cuatro veces la primera:

$5y-8y=-6z+12z \Rightarrow -3y=6z \Rightarrow y=-2z$

$x=-3z-2y=-3z-2(-2z)=-3z+4z=z$

$X=\begin{pmatrix} t \\ -2t \\ t \end{pmatrix}=t\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad t\in\mathbb{R}$

Comprobamos con la tercera ecuación: $7t-16t+9t=0$.

Las soluciones de la ecuación matricial son todas las matrices columna proporcionales a $(1,-2,1)^{T}$; entre ellas, para $t=0$, la solución trivial.