Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2022

Sea la matriz $X = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$, que depende de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

a) Calcule las matrices $X$ tales que $X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. [1,5 puntos]
b) Determine los valores de $a$, $b$ y $c$ para que la matriz inversa de $X$ sea $X^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule las matrices } \boldsymbol{X}\textbf{ tales que } \boldsymbol{X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Elevamos al cuadrado la matriz del enunciado dejando los parámetros indicados y después igualamos elemento a elemento.

$X^2=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^2 & a+b & 1 \\ 0 & b^2 & b+c \\ 0 & 0 & c^2 \end{pmatrix}$

El elemento de la primera fila y tercera columna vale 1 sin depender de los parámetros, y coincide ya con el que pide el enunciado. Las condiciones restantes son:

$\begin{cases} a^2=1 \\ a+b=0 \\ b^2=1 \\ b+c=0 \\ c^2=1 \end{cases}$

$a^2=1 \Rightarrow a=\pm 1$

$a+b=0 \Rightarrow b=-a, \qquad b+c=0 \Rightarrow c=-b=a$

Con esto, $b^2=a^2=1$ y $c^2=a^2=1$ se cumplen solas, así que solo hay dos soluciones, una por cada signo de $a$.

$a=1 \Rightarrow b=-1,\ c=1 \Rightarrow X_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$a=-1 \Rightarrow b=1,\ c=-1 \Rightarrow X_2=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Hay dos matrices que cumplen la condición, $X_1$ y $X_2$, que son opuestas una de la otra salvo en la diagonal secundaria.

$\textbf{b) Determine los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ para que la matriz inversa de } \boldsymbol{X}\textbf{ sea } \boldsymbol{X^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}\textbf{. (1 punto)}$

Si esa matriz es la inversa de $X$, su producto por $X$ ha de ser la identidad. Multiplicamos e igualamos.

$X\cdot X^{-1}=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{a}{2} & -\frac{a}{2}+1 & -\frac{a}{2}+1 \\ 0 & b & b-1 \\ 0 & 0 & -c \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \frac{a}{2} & -\frac{a}{2}+1 & -\frac{a}{2}+1 \\ 0 & b & b-1 \\ 0 & 0 & -c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\dfrac{a}{2}=1 \Rightarrow a=2$

$b=1$

$-c=1 \Rightarrow c=-1$

Comprobamos que los tres valores son compatibles con las posiciones restantes: $-\frac{a}{2}+1=-1+1=0$ y $b-1=1-1=0$, como debe ser.

Los valores pedidos son $a=2$, $b=1$ y $c=-1$, es decir, $X=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.