Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2023

Sean $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ y la matriz identidad de orden dos $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Compruebe que $(A - 2I)^2 = 3I$. [0,5 puntos]
b) Utilizando la igualdad del apartado anterior, encuentre la matriz inversa de la matriz $A$ en función de las matrices $A$ e $I$, y compruebe que coincide con la matriz $B$. [1,25 puntos]
c) Calcule la matriz $X$ que satisface la igualdad $A \cdot X = B$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Compruebe que } \boldsymbol{(A - 2I)^2 = 3I}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Calculamos primero la matriz $A-2I$ y después su cuadrado.

$A-2I=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

$(A-2I)^2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0+3 & 0+0 \\ 0+0 & 3+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}=3I$

Queda comprobada la igualdad $(A-2I)^2=3I$.

$\textbf{b) Utilizando la igualdad del apartado anterior, encuentre la matriz inversa de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ en función de las matrices } \boldsymbol{A}\textbf{ e } \boldsymbol{I}\textbf{, y compruebe que coincide con la matriz } \boldsymbol{B}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Desarrollamos el cuadrado del apartado anterior. Se puede aplicar la fórmula del cuadrado de una diferencia porque $A$ e $I$ conmutan: $A\cdot I=I\cdot A=A$.

$(A-2I)^2=A^2-4AI+4I^2=A^2-4A+4I$

$A^2-4A+4I=3I \Rightarrow A^2-4A+I=O$

Despejamos la identidad y sacamos $A$ como factor común, que es lo que permite reconocer la inversa.

$I=4A-A^2=A\,(4I-A)$

Como también $(4I-A)\,A=4A-A^2=I$, la matriz $4I-A$ es la inversa de $A$.

$A^{-1}=4I-A$

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}=B$

La inversa de $A$ es $A^{-1}=4I-A$, que coincide efectivamente con la matriz $B$ del enunciado.

$\textbf{c) Calcule la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que satisface la igualdad } \boldsymbol{A \cdot X = B}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Multiplicamos los dos miembros por la izquierda por $A^{-1}$, que existe por el apartado anterior. Hay que hacerlo por la izquierda porque el producto de matrices no es conmutativo.

$A^{-1}A\,X=A^{-1}B \Rightarrow I\,X=A^{-1}B \Rightarrow X=A^{-1}B$

Y como $A^{-1}=B$, resulta $X=B\cdot B=B^2$.

$X=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4+3 & -2-2 \\ -6-6 & 3+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -12 & 7 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$A\cdot X=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -12 & 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14-12 & -8+7 \\ 21-24 & -12+14 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}=B$

La matriz pedida es $X=\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -12 & 7 \end{pmatrix}$.