Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

SEGUNDO EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(2B) Sean $\alpha$ un número real y
$A=\begin{pmatrix} 1 & \alpha & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & \alpha & 1\end{pmatrix}.$

(a) (0,5 puntos) Encuentra los valores del parámetro $\alpha$ para los que existe la matriz inversa de $A$.
(b) (2 puntos) En el caso particular en que $\alpha=0$ calcula, si es posible, $A^{-1}$ y $A^{2025}$.

$\textbf{(a) (0,5 puntos) Encuentra los valores del parámetro } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ para los que existe la matriz inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no se anula, así que lo calculamos. Como la primera columna solo tiene un elemento no nulo, conviene desarrollar por ella.

$|A|=\begin{vmatrix}1&\alpha&1\\0&1&1\\0&\alpha&1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\ \alpha&1\end{vmatrix}=1-\alpha$

$|A|\neq0\Leftrightarrow 1-\alpha\neq0\Leftrightarrow \alpha\neq1$

La matriz $A$ tiene inversa para todo $\alpha\neq1$.

$\textbf{(b) (2 puntos) En el caso particular en que } \boldsymbol{\alpha=0}\textbf{ calcula, si es posible, } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{ y } \boldsymbol{A^{2025}}\textbf{.}$

Con $\alpha=0$ se cumple $\alpha\neq1$, luego la inversa existe. La matriz queda:

$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad |A|=1$

Calculamos la inversa por el método de la matriz adjunta:

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\text{Adj}(A)^{t}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$A\,A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Para la potencia no hay que multiplicar 2025 veces: se calculan las primeras potencias, se detecta la regla que siguen y se generaliza.

$A^2=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad A^3=\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$

Se observa que al elevar a $n$ la matriz solo cambia en los dos elementos de la última columna, que valen $n$:

$A^n=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}$

La fórmula se comprueba por inducción: suponiéndola cierta para $n$, al multiplicar por $A$ se obtiene la del exponente siguiente.

$A^{n}\cdot A=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&n+1\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}$

Particularizando para el exponente pedido:

$A^{2025}=\begin{pmatrix}1&0&2025\\0&1&2025\\0&0&1\end{pmatrix}$