Ejercicio resuelto de Energía mecánica · Física y Química I

Calcula utilizando razonamientos energéticos la altura máxima que alcanza un cuerpo cuando es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 50 m/s. ¿Se corresponde el resultado con lo que se obtendría aplicando las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado?

Dato: $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$.

Tomamos el cero de la energía potencial en el punto de lanzamiento. Sobre el cuerpo solo actúa el peso (despreciamos el aire). La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. Cuando la única fuerza que hace trabajo es el peso (la normal o la tensión de una cuerda no trabajan: son perpendiculares al movimiento), la energía mecánica se conserva: vale lo mismo en el estado inicial y en el final. No dan la masa: se deja como $m$. Para la segunda pregunta se usan las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado con la aceleración $-g$, eje hacia arriba y origen en el punto de lanzamiento.
$\boxed{{\displaystyle E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2}}$
$\boxed{{\displaystyle E_P=mgh}}$
$\boxed{{\displaystyle E_{M_{\text{inicial}}}=E_{M_{\text{final}}}}}$
$\boxed{{\displaystyle v=v_0-gt}}$
$\boxed{{\displaystyle y=v_{0}t-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2}}$





$\mathbf{\text{Altura}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{conservaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}$
Al salir, la energía es toda cinética; en el punto más alto el cuerpo se para un instante y es toda potencial:
$E_{M_{\text{salida}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}m\cdot {50}^2+0=1250m$
$E_{M_{\text{arriba}}}=0+mgh=\mathrm{9,8}mh$
Igualando, la masa se simplifica:
$1250m=\mathrm{9,8}mh\Rightarrow h={\displaystyle \frac{1250}{\mathrm{9,8}}}=\mathrm{127,5510}\text{ m}$
$\boxed{{\displaystyle h_{\max }=\mathrm{127,55}\text{ m}}}$


$\mathbf{\text{Comparaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{movimiento}}$
El cuerpo sube frenando $\mathrm{9,8}\text{ m/s}$ cada segundo. Llega arriba cuando su velocidad se anula:
$0=50-\mathrm{9,8}t\Rightarrow t={\displaystyle \frac{50}{\mathrm{9,8}}}=\mathrm{5,1020}\text{ s}$
y la altura en ese instante es:
$y=50\cdot \mathrm{5,1020}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{9,8}\cdot {\mathrm{5,1020}}^2=\mathrm{255,10}-\mathrm{127,55}=\mathrm{127,55}\text{ m}$
Sale la misma altura. No es casualidad: si en $y=v_{0}t-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$ se sustituye $t={\displaystyle \frac{v_0}{g}}$ queda $y={\displaystyle \frac{v_0^2}{g}}-{\displaystyle \frac{v_0^2}{2g}}={\displaystyle \frac{v_0^2}{2g}}$, que es exactamente lo que da la conservación de la energía al despejar $h$ de ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2=mgh$.