Ejercicio resuelto de Energía mecánica · Física y Química I

Un cuerpo de 4 kg se deja deslizar sin rozamiento desde el punto más alto de un plano inclinado de ángulo 40° y longitud 3 m. Calcula:

a) La variación de energía potencial del cuerpo al llegar al punto más bajo del plano.

b) La energía cinética en ese momento.

c) El trabajo realizado sobre el cuerpo.

d) La velocidad del cuerpo al final del plano.

e) La velocidad con que hubiera llegado de haber caído verticalmente desde la misma altura.

Dato: $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$.

Tomamos el cero de la energía potencial en el punto más bajo del plano. Sobre el cuerpo actúan el peso y la normal; la normal es perpendicular al plano, y por tanto al desplazamiento, y no hace trabajo. La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. Cuando la única fuerza que hace trabajo es el peso (la normal o la tensión de una cuerda no trabajan: son perpendiculares al movimiento), la energía mecánica se conserva: vale lo mismo en el estado inicial y en el final. El teorema de las fuerzas vivas dice que el trabajo total de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética. Cada trabajo se calcula con el ángulo que forma esa fuerza con el desplazamiento: $\cos 0^{\circ }=1$ si va a favor y $\cos {180}^{\circ }=-1$ si va en contra.
$\boxed{{\displaystyle E_P=mgh}}$
$\boxed{{\displaystyle E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2}}$
$\boxed{{\displaystyle E_{M_{\text{inicial}}}=E_{M_{\text{final}}}}}$
$\boxed{{\displaystyle W=Fd\cos \alpha }}$
$\boxed{{\displaystyle W_{\text{total}}=\mathrm{\Delta }{E}_C=E_{C_{\text{final}}}-E_{C_{\text{inicial}}}}}$





$\mathbf{\text{a)}}$ Primero la altura del punto de partida. En el triángulo del plano, la altura es el cateto opuesto al ángulo de 40° y la longitud es la hipotenusa:
$h=L\mathrm{sen}{40}^{\circ }=3\cdot \mathrm{sen}{40}^{\circ }=\mathrm{1,9284}\text{ m}$
Arriba la energía potencial es $mgh$ y abajo, en el cero, es nula:
$\mathrm{\Delta }{E}_P=E_{P_{\text{abajo}}}-E_{P_{\text{arriba}}}=0-4\cdot \mathrm{9,8}\cdot \mathrm{1,9284}=-\mathrm{75,59}\text{ J}$
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }{E}_P=-\mathrm{75,59}\text{ J}}}$
Negativa: el cuerpo pierde energía potencial al bajar.


$\mathbf{\text{b)}}$ Sin rozamiento la energía mecánica se conserva. Arriba está parado, así que toda su energía es potencial; abajo, toda es cinética:
$E_{M_{\text{arriba}}}=E_{M_{\text{abajo}}}\Rightarrow 0+\mathrm{75,59}=E_C+0$
$\boxed{{\displaystyle E_C=\mathrm{75,59}\text{ J}}}$
La energía cinética que gana es justo la potencial que pierde.


$\mathbf{\text{c)}}$ Por el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total es la variación de la energía cinética, que parte de cero:
$W=E_C-0=\mathrm{75,59}\text{ J}$
$\boxed{{\displaystyle W=\mathrm{75,59}\text{ J}}}$
Es el trabajo del peso, la única fuerza que trabaja. Se puede comprobar con la definición: el peso es vertical y el desplazamiento va por el plano, que forma 40° con la horizontal, así que el ángulo entre los dos es de ${90}^{\circ }-{40}^{\circ }={50}^{\circ }$:
$W_P=PL\cos {50}^{\circ }=4\cdot \mathrm{9,8}\cdot 3\cdot \cos {50}^{\circ }=\mathrm{75,59}\text{ J}$


$\mathbf{\text{d)}}$ De la energía cinética del apartado b):
${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4v^2=\mathrm{75,59}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{75,59}}{4}}}=\mathrm{6,1478}\text{ m/s}$
$\boxed{{\displaystyle v=\mathrm{6,15}\text{ m/s}}}$


$\mathbf{\text{e)}}$ En una caída vertical desde la misma altura $h=\mathrm{1,9284}\text{ m}$ también actúa solo el peso, así que la energía mecánica se conserva igual y la cuenta es la misma: pierde la misma energía potencial y llega con la misma energía cinética,
$0+4\cdot \mathrm{9,8}\cdot \mathrm{1,9284}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4v^2+0\Rightarrow v=\sqrt{2\cdot \mathrm{9,8}\cdot \mathrm{1,9284}}=\mathrm{6,1478}\text{ m/s}$
$\boxed{{\displaystyle v=\mathrm{6,15}\text{ m/s}}}$
La velocidad de llegada no depende del camino, solo de la altura: por el plano tarda más y llega en otra dirección, pero con el mismo módulo.