Ejercicio resuelto de Energía mecánica · Física y Química I

Un bloque de 10 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado 30° con la horizontal con una velocidad de 10 m/s. El bloque vuelve al punto de partida con una velocidad de 5 m/s. Calcula:

a) El trabajo de rozamiento total en subir y bajar.

b) El espacio que recorre al subir.

c) El coeficiente de rozamiento con el plano.

d) Un resorte en la parte baja del plano, $k=500\text{ N/m}$, recibe al bloque descendente. Calcula la deformación máxima del resorte supuesta la deformación sin pérdida de altura y sin rozamiento.

Dato: $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$.

Tomamos el cero de la energía potencial en el punto de partida, al pie del plano. Como hay rozamiento, la energía mecánica NO se conserva: la fuerza de rozamiento va siempre en contra del movimiento y hace un trabajo negativo, y la energía mecánica final es la inicial más ese trabajo. En un plano inclinado la normal es la componente del peso perpendicular al plano, $N=mg\cos \alpha$, y la altura que se sube recorriendo una distancia $d$ por el plano es $h=d\mathrm{sen}\alpha$. Para el resorte, la energía cinética con la que llega el bloque se convierte en potencial elástica.
$\boxed{{\displaystyle E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2}}$
$\boxed{{\displaystyle E_P=mgh}}$
$\boxed{{\displaystyle E_{M_{\text{final}}}-E_{M_{\text{inicial}}}=W_{\text{roz}}}}$
$\boxed{{\displaystyle W=Fd\cos \alpha }}$
$\boxed{{\displaystyle F_{\text{roz}}=\mu N}}$
$\boxed{{\displaystyle E_{P_{\text{el}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2}}$





$\mathbf{\text{a)}}$ El bloque sale y vuelve al mismo punto: la energía potencial es la misma al principio y al final, y la energía mecánica es solo la cinética en los dos estados:
$E_{M_{\text{inicial}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot {10}^2=500\text{ J}$
$E_{M_{\text{final}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot 5^2=125\text{ J}$
La diferencia es el trabajo del rozamiento en todo el viaje:
$W_{\text{roz}}=E_{M_{\text{final}}}-E_{M_{\text{inicial}}}=125-500=-375\text{ J}$
$\boxed{{\displaystyle W_{\text{roz}}=-375\text{ J}}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ La fuerza de rozamiento vale lo mismo subiendo que bajando (la normal no cambia) y actúa a lo largo de la misma distancia $d$ en los dos tramos, así que la mitad del trabajo se hace al subir:
$W_{{\text{roz}}_{\text{subida}}}={\displaystyle \frac{-375}{2}}=-\mathrm{187,5}\text{ J}$
Balance de energía mecánica entre la salida y el punto más alto, donde el bloque se para a una altura $h=d\mathrm{sen}{30}^{\circ }=\mathrm{0,5}d$:
$E_{M_{\text{arriba}}}-E_{M_{\text{salida}}}=W_{{\text{roz}}_{\text{subida}}}$
$(0+10\cdot \mathrm{9,8}\cdot \mathrm{0,5}d)-500=-\mathrm{187,5}$
$49d=\mathrm{312,5}\Rightarrow d={\displaystyle \frac{\mathrm{312,5}}{49}}=\mathrm{6,3776}\text{ m}$
$\boxed{{\displaystyle d=\mathrm{6,38}\text{ m}}}$
Sube hasta una altura $h=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{6,3776}=\mathrm{3,19}\text{ m}$.


$\mathbf{\text{c)}}$ El trabajo del rozamiento al subir, escrito con la definición: la fuerza es $\mu N$, actúa a lo largo de $d$ y va en contra:
$N=mg\cos {30}^{\circ }=10\cdot \mathrm{9,8}\cdot \cos {30}^{\circ }=\mathrm{84,8705}\text{ N}$
$W_{{\text{roz}}_{\text{subida}}}=\mu Nd\cos {180}^{\circ }=-\mu \cdot \mathrm{84,8705}\cdot \mathrm{6,3776}=-\mathrm{541,266}\mu$
Igualando al valor del apartado b):
$-\mathrm{541,266}\mu =-\mathrm{187,5}\Rightarrow \mu ={\displaystyle \frac{\mathrm{187,5}}{\mathrm{541,266}}}=\mathrm{0,3464}$
$\boxed{{\displaystyle \mu =\mathrm{0,35}}}$


$\mathbf{\text{d)}}$ El bloque llega abajo con $E_C=125\text{ J}$. Al comprimir el resorte se para, y como en la compresión no hay rozamiento ni cambio de altura, toda esa energía cinética pasa a potencial elástica:
${\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2=E_C\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 500x^2=125$
$x^2={\displaystyle \frac{2\cdot 125}{500}}=\mathrm{0,50}\Rightarrow x=\sqrt{\mathrm{0,50}}=\mathrm{0,7071}\text{ m}$
$\boxed{{\displaystyle x=\mathrm{0,71}\text{ m}}}$