Ejercicio resuelto de Energía mecánica · Física y Química I

Una bala de $\mathrm{0,3}\text{ kg}$ y velocidad desconocida choca contra un saco de arena de $4\text{ kg}$ suspendido de una cuerda de $50\text{ cm}$ de longitud, inicialmente en reposo. Después del choque el saco se eleva hasta que la cuerda forma un ángulo de ${30}^{\circ }$ con la vertical; mientras tanto, la bala que lo atraviesa describe una parábola, estando el punto de impacto a $20\text{ m}$ de distancia horizontal y $\mathrm{1,5}\text{ m}$ por debajo. Calcular:

a) Velocidades del saco y de la bala inmediatamente después del choque.

b) Velocidad de la bala antes del choque y energía perdida en el mismo.

c) Tensión de la cuerda cuando ésta forma un ángulo de ${10}^{\circ }$ con la vertical.

$\mathbf{\text{Datos}}$: $m_1=\mathrm{0,3}\text{ kg}$ (bala), $m_2=4\text{ kg}$ (saco), $l=\mathrm{0,5}\text{ m}$, $\beta ={30}^{\circ }$, $x=20\text{ m}$, $y_0=\mathrm{1,5}\text{ m}$, $g=10{\text{m/s}}^2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Velocidades}}\mathbf{\text{inmediatamente}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{choque}}$

Velocidad de la bala tras el choque $(v_1^{\mathrm{\prime }})$ a partir de su movimiento parabólico (lanzamiento horizontal). Las ecuaciones del movimiento son:

$x=v_1^{\mathrm{\prime }}ty=y_0-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$

Cuando la bala llega al suelo $y=0$, de donde se obtiene el tiempo de vuelo y luego $v_1^{\mathrm{\prime }}$:

$0=\mathrm{1,5}-5t^2\Rightarrow t=\sqrt{{\displaystyle \frac{2y_0}{g}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,5}}{10}}}=\mathrm{0,55}\text{ s}$

$\boxed{{\displaystyle v_1^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{x}{t}}={\displaystyle \frac{20}{\mathrm{0,55}}}=\mathrm{36,51}\text{ m/s}}}$

Velocidad del saco tras el choque $(v_s)$ por conservación de la energía mecánica al elevarse hasta ${30}^{\circ }$ (sin rozamiento). Tomando $h=0$ en el punto más bajo, toda la energía cinética inicial se transforma en potencial:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_2{v}_s^2=m_{2}gh\Rightarrow v_s=\sqrt{2gh}$

La altura que sube el saco es $h=l(1-\cos \beta )$:

$\boxed{{\displaystyle v_s=\sqrt{2gl(1-\cos \beta )}=\sqrt{2\cdot 10\cdot \mathrm{0,5}\cdot (1-\cos {30}^{\circ })}=\mathrm{1,16}\text{ m/s}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bala}}\mathbf{\text{antes}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{choque}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{perdida}}$

Durante el choque no hay fuerzas externas horizontales, por lo que se conserva el momento lineal. La bala atraviesa el saco, así que ambos siguen avanzando en el mismo sentido:

$\sum \vec{F}=0\Rightarrow {\vec{p}}_{\text{antes}}={\vec{p}}_{\text{despu}\acute{\text{e}}\text{s}}\Rightarrow m_1{v}_1=m_1{v}_1^{\mathrm{\prime }}+m_2{v}_s$

Despejando la velocidad inicial de la bala:

$\boxed{{\displaystyle v_1={\displaystyle \frac{m_1{v}_1^{\mathrm{\prime }}+m_2{v}_s}{m_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{36,51}+4\cdot \mathrm{1,16}}{\mathrm{0,3}}}=\mathrm{51,98}\text{ m/s}}}$

La energía perdida en el choque es la variación de energía cinética entre antes y después:

$E_{c,\text{antes}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_1{v}_1^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{0,3}\cdot {\mathrm{51,98}}^2=\mathrm{405,2}\text{ J}$

$E_{c,\text{despu}\acute{\text{e}}\text{s}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_1{v}_1^{\mathrm{\prime }2}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_2{v}_s^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{0,3}\cdot {\mathrm{36,51}}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4\cdot {\mathrm{1,16}}^2=\mathrm{202,6}\text{ J}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }{E}_c=E_{c,\text{despu}\acute{\text{e}}\text{s}}-E_{c,\text{antes}}=\mathrm{202,6}-\mathrm{405,2}=-\mathrm{202,6}\text{ J}}}$

Se pierden unos $\mathrm{202,6}\text{ J}$ en forma de calor y deformación del saco.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Tensi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{formar}}{10}^{\circ }\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vertical}}$

Primero, la velocidad del saco $(v_B)$ en esa posición por conservación de la energía mecánica entre el punto más bajo (A) y la posición a ${10}^{\circ }$ (B):

${\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_2{v}_A^2={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_2{v}_B^2+m_{2}gh\Rightarrow v_B=\sqrt{v_A^2-2gh}$

con $v_A=v_s=\mathrm{1,16}\text{ m/s}$ y $h=l(1-\cos \alpha )$, siendo $\alpha ={10}^{\circ }$:

$v_B=\sqrt{{\mathrm{1,16}}^2-2\cdot 10\cdot \mathrm{0,5}\cdot (1-\cos {10}^{\circ })}=\mathrm{1,09}\text{ m/s}$

El saco describe un movimiento circular de radio $R=l$. Aplicando la 2.ª ley de Newton en la dirección radial (hacia el centro, a lo largo de la cuerda), la tensión y la componente radial del peso aportan la fuerza centrípeta:

$T-m_{2}g\cos \alpha =m_2{\displaystyle \frac{v_B^2}{R}}\Rightarrow T=m_2({\displaystyle \frac{v_B^2}{R}}+g\cos \alpha )$

Sustituyendo con $R=l=\mathrm{0,5}\text{ m}$:

$\boxed{{\displaystyle T=4({\displaystyle \frac{{\mathrm{1,09}}^2}{\mathrm{0,5}}}+10\cdot \cos {10}^{\circ })=\mathrm{48,9}\text{ N}}}$