Ejercicio resuelto de Energía mecánica · Física y Química I

Un carrito de una montaña rusa parte del reposo desde el punto más alto del recorrido, A, y desciende sin rozamiento hasta el punto más bajo, B.

a) ¿A qué altura hay que elevar el carrito para que al pasar por el punto más bajo la velocidad sea de 20 m/s?

b) ¿Y si se duplica la masa del carrito?

Dato: $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$.

Tomamos el cero de la energía potencial en el punto más bajo, B, y llamamos $h$ a la altura de A sobre él. Sobre el carrito actúan el peso y la normal de los raíles, que es perpendicular al movimiento y no trabaja. La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. Cuando la única fuerza que hace trabajo es el peso (la normal o la tensión de una cuerda no trabajan: son perpendiculares al movimiento), la energía mecánica se conserva: vale lo mismo en el estado inicial y en el final. No dan la masa: se deja como $m$ y se verá que no hace falta.
$\boxed{{\displaystyle E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2}}$
$\boxed{{\displaystyle E_P=mgh}}$
$\boxed{{\displaystyle E_{M_{\text{inicial}}}=E_{M_{\text{final}}}}}$





$\mathbf{\text{a)}}$ En A el carrito está parado y en alto; en B va a 20 m/s y está en el cero de alturas:
$E_{M_A}=0+mgh=\mathrm{9,8}mh$
$E_{M_B}={\displaystyle \frac{1}{2}}m\cdot {20}^2+0=200m$
Igualando las dos energías mecánicas, la masa aparece en los dos miembros y se simplifica:
$\mathrm{9,8}mh=200m\Rightarrow h={\displaystyle \frac{200}{\mathrm{9,8}}}=\mathrm{20,4082}\text{ m}$
$\boxed{{\displaystyle h=\mathrm{20,41}\text{ m}}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Nada cambia. Con el doble de masa, $2m$, las dos energías se duplican y la igualdad es la misma:
$\mathrm{9,8}\cdot 2m\cdot h=200\cdot 2m\Rightarrow h={\displaystyle \frac{200}{\mathrm{9,8}}}=\mathrm{20,4082}\text{ m}$
La altura necesaria no depende de la masa, igual que la velocidad de caída de un cuerpo no depende de su masa. Esto solo es así porque no hay rozamiento: con rozamiento la masa ya no se simplificaría.
$\boxed{{\displaystyle h=\mathrm{20,41}\text{ m}}}$