Ejercicio resuelto de Energía mecánica · Física y Química I

Un cuerpo de 5 kg de masa cae bajo la acción de la gravedad, $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$. Cuando se encuentra a 7 m del suelo posee una velocidad de 6 m/s.

a) ¿Desde qué altura se le dejó caer?

b) Calcula la energía cinética y potencial cuando se encuentra a 3 m del suelo.

c) Calcula la altura a la que rebota si en el bote pierde un 20 % de su energía mecánica.

Tomamos el cero de la energía potencial en el suelo. Durante la caída solo actúa el peso. La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. Cuando la única fuerza que hace trabajo es el peso (la normal o la tensión de una cuerda no trabajan: son perpendiculares al movimiento), la energía mecánica se conserva: vale lo mismo en el estado inicial y en el final. Así que basta calcular la energía mecánica en el punto del que dan datos, a 7 m y 6 m/s, y ese valor sirve para todos los demás puntos de la caída.
$\boxed{{\displaystyle E_M=E_C+E_P}}$
$\boxed{{\displaystyle E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2}}$
$\boxed{{\displaystyle E_P=mgh}}$
$\boxed{{\displaystyle E_{M_{\text{inicial}}}=E_{M_{\text{final}}}}}$





$\mathbf{\text{a)}}$ Energía mecánica en el punto conocido (a 7 m del suelo, a 6 m/s):
$E_M={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2+mgh={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5\cdot 6^2+5\cdot \mathrm{9,8}\cdot 7=90+343=433\text{ J}$
En el punto de salida, a la altura $h_1$, el cuerpo estaba parado: su energía era toda potencial, y la misma:
$0+5\cdot \mathrm{9,8}\cdot h_1=433\Rightarrow h_1={\displaystyle \frac{433}{49}}=\mathrm{8,8367}\text{ m}$
$\boxed{{\displaystyle h_1=\mathrm{8,84}\text{ m}}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ A 3 m del suelo la energía potencial es:
$E_P=mgh=5\cdot \mathrm{9,8}\cdot 3=147\text{ J}$
y la cinética, lo que falta hasta la energía mecánica, que sigue siendo la misma:
$E_C=E_M-E_P=433-147=286\text{ J}$
$\boxed{{\displaystyle E_C=286\text{ J}{E}_P=147\text{ J}}}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Al llegar al suelo la energía mecánica sigue valiendo $433\text{ J}$, toda cinética. En el bote pierde el 20 %, así que sale con el 80 %:
$E_M^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,8}\cdot 433=\mathrm{346,4}\text{ J}$
Sube hasta que toda esa energía vuelve a ser potencial:
$0+5\cdot \mathrm{9,8}\cdot h^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{346,4}\Rightarrow h^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{346,4}}{49}}=\mathrm{7,0694}\text{ m}$
$\boxed{{\displaystyle h^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{7,07}\text{ m}}}$
Es el 80 % de la altura de salida ($\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{8,8367}=\mathrm{7,0694}$): la altura es proporcional a la energía potencial.