Ejercicio resuelto de Entalpía y entropía · Física y Química I

El dióxido de manganeso se reduce con aluminio según la reacción:

$3{\text{MnO}}_2(s)+4\text{Al}(s)\to 2{\text{Al}}_2{\text{O}}_3(s)+3\text{Mn}(s)\mathrm{\Delta }H=-\mathrm{1772,4}\text{ kJ}$

Calcule:

Datos: $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }[{\text{MnO}}_2(s)]=-520\text{ kJ/mol}$. Masas atómicas: $\text{Al}=27;\text{ Mn}=55;\text{ O}=16$.

a) La entalpía de formación estándar del ${\text{Al}}_2{\text{O}}_3(s)$.
b) La energía que se desprende cuando se ponen a reaccionar, en las mismas condiciones, 50 g de ${\text{MnO}}_2(s)$ con 50 g de $\text{Al}(s)$.

La entalpía de la reacción liga las entalpías de formación; conocidas todas menos una, se despeja:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }{H}_r^{\circ }=\sum n\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }(\text{productos})-\sum n\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }(\text{reactivos})}}$
Y cuando se dan las cantidades de DOS reactivos hay que averiguar cuál se agota primero, porque es él quien decide cuánto se produce:
$\boxed{{\displaystyle \text{limitante}=\text{el que da MENOS producto}}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ La ecuación viene ajustada: a la izquierda hay 3 manganesos, 6 oxígenos y 4 aluminios; a la derecha, $2\cdot 2=4$ aluminios, $2\cdot 3=6$ oxígenos y 3 manganesos.
Se plantea la ley de Hess. El aluminio y el manganeso son elementos en su forma estable y aportan cero, así que la única incógnita es el óxido de aluminio, con coeficiente 2:
$\mathrm{\Delta }{H}^{\circ }=2\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{Al}}_2{\text{O}}_3)-3\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{MnO}}_2)$
$-\mathrm{1772,4}=2\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{Al}}_2{\text{O}}_3)-3\cdot (-520)$
$-\mathrm{1772,4}=2\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{Al}}_2{\text{O}}_3)+1560$
$2\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{Al}}_2{\text{O}}_3)=-\mathrm{1772,4}-1560=-\mathrm{3332,4}$
$\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{Al}}_2{\text{O}}_3)={\displaystyle \frac{-\mathrm{3332,4}}{2}}=-\mathrm{1666,2}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$
Sale muy negativa: el óxido de aluminio es extraordinariamente estable, y de ahí que el aluminio sea capaz de arrancarle el oxígeno a otros óxidos. Esa es la base de la aluminotermia, la misma reacción que con óxido de hierro se usa para soldar raíles.


$\mathbf{\text{b)}}$ Ahora hay cantidades de los DOS reactivos, así que lo primero es ver cuál se agota antes. Los moles de cada uno:
$M\left({\text{MnO}}_2\right)=55+16\cdot 2=87\text{ g/mol}$
$50\cancel{{\text{g de MnO}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de MnO}}_2}{87\cancel{{\text{g de MnO}}_2}}}=\mathrm{0,57471}{\text{mol de MnO}}_2$
$50\cancel{\text{g de Al}}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ mol de Al}}{27\cancel{\text{g de Al}}}}=\mathrm{1,85185}\text{ mol de Al}$
La ecuación dice que cada 3 moles de dióxido de manganeso necesitan 4 de aluminio. Para consumir todo el dióxido harían falta:
$\mathrm{0,57471}\cancel{{\text{mol de MnO}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{4\text{ mol de Al}}{3\cancel{{\text{mol de MnO}}_2}}}=\mathrm{0,76628}\text{ mol de Al}$
y hay 1,85185 moles de aluminio, bastante más de los 0,76628 que hacen falta. Así que el aluminio está en EXCESO y el reactivo LIMITANTE es el dióxido de manganeso: la reacción se para cuando él se acaba, y el aluminio sobrante se queda sin reaccionar.
El calor lo fija, por tanto, el dióxido de manganeso. La entalpía del enunciado corresponde a 3 moles de él:
$\mathrm{0,57471}\cancel{{\text{mol de MnO}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{-\mathrm{1772,4}\text{ kJ}}{3\cancel{{\text{mol de MnO}}_2}}}=-\mathrm{339,54}\text{ kJ}$
Se desprenden 339,54 kJ.
Nótese lo que habría pasado sin comprobar el limitante: usando el aluminio saldría un calor casi tres veces mayor, porque se estaría suponiendo que hay dióxido de manganeso suficiente para consumirlo entero, y no lo hay.