Ejercicio resuelto de Entalpía y entropía · Física y Química I

En una fábrica de cemento se requiere aportar al horno 3.300 kJ por cada Kg de cemento producido. La energía se obtiene por combustión del gas metano, ${\text{CH}}_4$, con oxígeno del aire de acuerdo con la reacción no ajustada: ${\text{CH}}_4(g)+2{\text{O}}_2(g)\to {\text{CO}}_2(g)+2{\text{H}}_2\text{O}(l)$. Calcula:

DATOS: $A_r(\text{C})=12\text{ u};A_r(\text{H})=1\text{ u};A_r(\text{O})=16\text{ u};R=\mathrm{0,082}\text{ atm}\cdot \text{L}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$; aire = 21 % ${\text{O}}_2$; $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }[{\text{CH}}_4(g)]=-\mathrm{74,8}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$; $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }[{\text{CO}}_2(g)]=-\mathrm{393,5}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$; $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }[{\text{H}}_2\text{O}(l)]=-\mathrm{285,8}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.

a) La cantidad de gas metano consumido, en Kg, para obtener 1.000 Kg de cemento.
b) La cantidad de aire, en metros cúbicos, medido a 1 atmósfera de presión y 25 ºC necesarios para la combustión completa del metano del apartado anterior.

Este ejercicio va al revés de lo habitual: se sabe cuánta energía hace falta y se busca cuánto combustible hay que quemar. El puente entre las dos cosas es la entalpía de combustión del metano, que se calcula de las entalpías de formación.
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }{H}_r^{\circ }=\sum n\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }(\text{productos})-\sum n\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }(\text{reactivos})}}$
Después, el volumen de aire sale de la ecuación de estado de los gases ideales:
$\boxed{{\displaystyle p\cdot V=n\cdot R\cdot T}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ La ecuación del enunciado, aunque la llame «no ajustada», ya está ajustada: a cada lado hay 1 carbono, 4 hidrógenos y 4 oxígenos.
${\text{CH}}_4(g)+2{\text{O}}_2(g)\to {\text{CO}}_2(g)+2{\text{H}}_2\text{O}(l)$
La entalpía de combustión, con las entalpías de formación del enunciado (la del oxígeno vale cero por ser elemento libre):
$\mathrm{\Delta }{H}_r^{\circ }=\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{CO}}_2(g))+2\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{H}}_2\text{O}(l))-\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{CH}}_4(g))-2\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{O}}_2(g))=(-\mathrm{393,5})+2\cdot (-\mathrm{285,8})-(-\mathrm{74,8})-2\cdot 0=-\mathrm{890,3}\text{ kJ/mol}$
Cada mol de metano que arde libera 890,3 kJ. Como para cada kilogramo de cemento hacen falta 3.300 kJ, los moles de metano por kilogramo de cemento son:
$3300\cancel{\text{kJ}}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de CH}}_4}{\mathrm{890,3}\cancel{\text{kJ}}}}=\mathrm{3,7066}{\text{mol de CH}}_4$
Para 1.000 kg de cemento hará falta 1.000 veces más:
$1000\cancel{\text{kg de cemento}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{3,7066}\cancel{{\text{mol de CH}}_4}}{1\cancel{\text{kg de cemento}}}}\cdot {\displaystyle \frac{16\cancel{{\text{g de CH}}_4}}{1\cancel{{\text{mol de CH}}_4}}}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{kg de CH}}_4}{1000\cancel{{\text{g de CH}}_4}}}=\mathrm{59,31}{\text{kg de CH}}_4$
Se consumen 59,31 kg de metano.


$\mathbf{\text{b)}}$ La ecuación ajustada dice que cada mol de metano consume 2 moles de oxígeno. Los moles de metano del apartado anterior son:
$1000\cancel{\text{kg de cemento}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{3,7066}{\text{mol de CH}}_4}{1\cancel{\text{kg de cemento}}}}=\mathrm{3706,6}{\text{mol de CH}}_4$
y el oxígeno que necesitan:
$\mathrm{3706,6}\cancel{{\text{mol de CH}}_4}\cdot {\displaystyle \frac{2{\text{mol de O}}_2}{1\cancel{{\text{mol de CH}}_4}}}=\mathrm{7413,2}{\text{mol de O}}_2$
Ese oxígeno, a 1 atmósfera y 25 ºC (es decir, 298 K), ocupa:
$p\cdot V=n\cdot R\cdot T⟹V={\displaystyle \frac{n\cdot R\cdot T}{p}}={\displaystyle \frac{3710\text{ mol}\cdot \mathrm{0,082}\frac{\text{atm}\cdot \text{L}}{\text{K}\cdot \text{mol}}\cdot 298\text{ K}}{1\text{ atm}}}=\mathrm{1,811}\cdot {10}^5\text{ L}$
Pero se pide el volumen de AIRE, y el aire solo lleva un 21 % de oxígeno en volumen, así que hace falta más aire que oxígeno:
$\mathrm{181149,7}\cancel{{\text{L de O}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{100\cancel{\text{L de aire}}}{21\cancel{{\text{L de O}}_2}}}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ m3 de aire}}{1000\cancel{\text{L de aire}}}}=\mathrm{862,62}\text{ m3 de aire}$
Hacen falta 862,62 metros cúbicos de aire.