Ejercicio resuelto de Entalpía y entropía · Física y Química I

La gasolina es una mezcla compleja de hidrocarburos que a efectos prácticos se considera que está constituida por octano, ${\text{C}}_8{\text{H}}_{18}(l)$. La combustión de un hidrocarburo produce agua y dióxido de carbono. Se quema completamente 60 L de octano. Calcula:

DATOS: Aire (21 % ${\text{O}}_2$) en volumen; $d({\text{C}}_8{\text{H}}_{18})=\mathrm{0,8}\text{ g}\cdot {\text{mL}}^{-1}$; $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{CO}}_2)=-\mathrm{393,5}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$; $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }[{\text{H}}_2\text{O}(l)]=-\mathrm{285,8}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$; $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }[{\text{C}}_8{\text{H}}_{18}(l)]=-\mathrm{249,8}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$; $A_r(\text{H})=1\text{ u};A_r(\text{O})=16\text{ u};A_r(\text{C})=12\text{ u};R=\mathrm{0,082}\text{ atm}\cdot \text{L}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$.

a) El volumen de aire (en ${\text{m}}^3$), que se necesitará, medido a 765 mm Hg y 25 ºC, para llevar a cabo esta combustión.
b) La masa de agua, en kg, producida en dicha combustión.
c) El calor que se desprende.

Los tres apartados parten de los moles de octano que se queman, así que esa cuenta se hace una vez. El volumen del octano se pasa a masa con la densidad, y la masa a moles con la masa molar:
$\boxed{{\displaystyle d={\displaystyle \frac{m}{V}}}}$
Después, el volumen de aire sale de la ecuación de estado de los gases ideales, y el calor, de las entalpías de formación:
$\boxed{{\displaystyle p\cdot V=n\cdot R\cdot T}}$
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }{H}_r^{\circ }=\sum n\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }(\text{productos})-\sum n\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }(\text{reactivos})}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ La combustión del octano, ajustada: los 8 carbonos dan 8 moléculas de ${\text{CO}}_2$, los 18 hidrógenos dan 9 de agua, y los $8\cdot 2+9=25$ oxígenos de la derecha salen de $25\mathrm{/}2$ moléculas de ${\text{O}}_2$:
${\text{C}}_8{\text{H}}_{18}(l)+{\displaystyle \frac{25}{2}}{\text{O}}_2(g)\to 8{\text{CO}}_2(g)+9{\text{H}}_2\text{O}(l)$
Los 60 L de octano se pasan a gramos con la densidad, y a moles con la masa molar:
$M\left({\text{C}}_8{\text{H}}_{18}\right)=12\cdot 8+1\cdot 18=114\text{ g/mol}$
$60\cancel{{\text{L de C}}_8{\text{H}}_{18}}\cdot {\displaystyle \frac{1000\cancel{{\text{mL de C}}_8{\text{H}}_{18}}}{1\cancel{{\text{L de C}}_8{\text{H}}_{18}}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\cancel{{\text{g de C}}_8{\text{H}}_{18}}}{1\cancel{{\text{mL de C}}_8{\text{H}}_{18}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}}{114\cancel{{\text{g de C}}_8{\text{H}}_{18}}}}=\mathrm{421,05}{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}$
La ecuación dice que cada mol de octano consume $25\mathrm{/}2=\mathrm{12,5}$ moles de oxígeno:
$\mathrm{421,05}\cancel{{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}}\cdot {\displaystyle \frac{25{\text{mol de O}}_2}{2\cancel{{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}}}}=\mathrm{5263,16}{\text{mol de O}}_2$
Ese oxígeno, en las condiciones dadas (765 mm Hg y 25 ºC, es decir, 298 K), ocupa:
$765\cancel{\text{mm Hg}}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ atm}}{760\cancel{\text{mm Hg}}}}=\mathrm{1,0066}\text{ atm}$
$p\cdot V=n\cdot R\cdot T⟹V={\displaystyle \frac{n\cdot R\cdot T}{p}}={\displaystyle \frac{\mathrm{421,05}\text{ mol}\cdot \mathrm{0,082}\frac{\text{atm}\cdot \text{L}}{\text{K}\cdot \text{mol}}\cdot 298\text{ K}}{{\displaystyle \frac{765}{760}}\text{ atm}}}=\mathrm{1,278}\cdot {10}^5\text{ L}$
Pero lo que se pide es el volumen de AIRE, no de oxígeno. Como el aire solo lleva un 21 % de oxígeno en volumen, hace falta más aire que oxígeno: el factor va con el aire arriba.
$\mathrm{127769,93}\cancel{{\text{L de O}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{100\cancel{\text{L de aire}}}{21\cancel{{\text{L de O}}_2}}}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ m3 de aire}}{1000\cancel{\text{L de aire}}}}=\mathrm{608,43}\text{ m3 de aire}$
Hacen falta 608,43 metros cúbicos de aire.


$\mathbf{\text{b)}}$ La ecuación ajustada dice que cada mol de octano produce 9 moles de agua. Con la masa molar del agua se pasan a kilogramos:
$M\left({\text{H}}_2\text{O}\right)=1\cdot 2+16=18\text{ g/mol}$
$\mathrm{421,05}\cancel{{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}}\cdot {\displaystyle \frac{9\cancel{{\text{mol de H}}_2\text{O}}}{1\cancel{{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}}}}\cdot {\displaystyle \frac{18\cancel{{\text{g de H}}_2\text{O}}}{1\cancel{{\text{mol de H}}_2\text{O}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{kg de H}}_2\text{O}}{1000\cancel{{\text{g de H}}_2\text{O}}}}=\mathrm{68,21}{\text{kg de H}}_2\text{O}$
Se producen 68,21 kg de agua, más de lo que pesa la propia gasolina quemada: casi la mitad del octano es hidrógeno en número de átomos.


$\mathbf{\text{c)}}$ La entalpía de combustión por mol de octano, con las entalpías de formación del enunciado (la del oxígeno es cero, por ser elemento libre):
$\mathrm{\Delta }{H}_r^{\circ }=8\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{CO}}_2(g))+9\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{H}}_2\text{O}(l))-\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{C}}_8{\text{H}}_{18}(l))-{\displaystyle \frac{25}{2}}\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{O}}_2(g))=8\cdot (-\mathrm{393,5})+9\cdot (-\mathrm{285,8})-(-\mathrm{249,8})-{\displaystyle \frac{25}{2}}\cdot 0=-\mathrm{5470,4}\text{ kJ/mol}$
y con los 421,05 mol que se queman:
$\mathrm{421,05}\cancel{{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}}\cdot {\displaystyle \frac{-\mathrm{5470,4}\text{ kJ}}{1\cancel{{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}}}}=-\mathrm{2303326,32}\text{ kJ}$
que en kilocalorías, con la equivalencia $1\text{ J}=\mathrm{0,24}\text{ cal}$, son:
$-\mathrm{2303326,32}\cancel{\text{kJ}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,24}\text{ Kcal}}{1\cancel{\text{kJ}}}}=-\mathrm{552798,32}\text{ Kcal}$
Se desprenden 2303326,32 kJ, es decir, 552798,32 kcal.