Ejercicio resuelto de Entalpía y entropía · Física y Química I

El octano, ${\text{C}}_8{\text{H}}_{18}$, es un hidrocarburo líquido de densidad $\mathrm{0,79}\text{ kg}\cdot {\text{L}}^{-1}$ y es el componente mayoritario de la gasolina. Teniendo en cuenta las entalpías de formación estándar que se dan al final del enunciado, calcula:

DATOS: $A_r(\text{H})=1\text{ u};A_r(\text{C})=12\text{ u};A_r(\text{O})=16\text{ u}$; $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }[{\text{C}}_8{\text{H}}_{18}(l)]=-\mathrm{249,9}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$; $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }[{\text{CO}}_2(g)]=-\mathrm{395,5}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$; $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }[{\text{H}}_2\text{O}(l)]=-\mathrm{285,8}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.

a) La entalpía molar de combustión del octano en condiciones estándar.
b) Si 1 L de octano cuesta 0,97 €, ¿cuál será el coste de combustión necesario para producir ${10}^6$ J de energía en forma de calor?
c) ¿Cuál será el volumen de octano que debe quemarse para fundir 1 kg de hielo si la entalpía de fusión del hielo es $\mathrm{6,01}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$?

La entalpía de combustión sale de las entalpías de formación:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }{H}_r^{\circ }=\sum n\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }(\text{productos})-\sum n\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }(\text{reactivos})}}$
y para los dos últimos apartados hace falta además la densidad, que relaciona el volumen de octano con su masa:
$\boxed{{\displaystyle d={\displaystyle \frac{m}{V}}}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ La combustión del octano da dióxido de carbono y agua. Ajustando: los 8 carbonos obligan a 8 moléculas de ${\text{CO}}_2$; los 18 hidrógenos, a 9 de agua; y los oxígenos de la derecha son $8\cdot 2+9=25$, que salen de $25\mathrm{/}2$ moléculas de ${\text{O}}_2$:
${\text{C}}_8{\text{H}}_{18}(l)+{\displaystyle \frac{25}{2}}{\text{O}}_2(g)\to 8{\text{CO}}_2(g)+9{\text{H}}_2\text{O}(l)$
La entalpía molar de combustión, con las entalpías de formación del enunciado (la del oxígeno es cero, por ser elemento libre):
$\mathrm{\Delta }{H}_r^{\circ }=8\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{CO}}_2(g))+9\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{H}}_2\text{O}(l))-\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{C}}_8{\text{H}}_{18}(l))-{\displaystyle \frac{25}{2}}\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{O}}_2(g))=8\cdot (-\mathrm{395,5})+9\cdot (-\mathrm{285,8})-(-\mathrm{249,9})-{\displaystyle \frac{25}{2}}\cdot 0=-\mathrm{5486,3}\text{ kJ/mol}$
Es NEGATIVA, como corresponde a una combustión: se desprenden 5486,3 kJ por cada mol de octano quemado.


$\mathbf{\text{b)}}$ Para saber cuánto cuesta obtener una cantidad de energía hay que saber antes cuánta energía da UN LITRO de octano. Se obtiene con la densidad y la masa molar.
$M\left({\text{C}}_8{\text{H}}_{18}\right)=12\cdot 8+1\cdot 18=114\text{ g/mol}$
Un litro de octano pesa 0,79 kg, es decir, 790 g, y esos gramos son:
$1\cancel{{\text{L de C}}_8{\text{H}}_{18}}\cdot {\displaystyle \frac{790\cancel{{\text{g de C}}_8{\text{H}}_{18}}}{1\cancel{{\text{L de C}}_8{\text{H}}_{18}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}}{114\cancel{{\text{g de C}}_8{\text{H}}_{18}}}}=\mathrm{6,9298}{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}$
que al arder dan:
$\mathrm{6,9298}\cancel{{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{5486,3}\text{ kJ}}{1\cancel{{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}}}}=\mathrm{38019,1}\text{ kJ}$
Es decir, cada litro de octano proporciona 38019,1 kJ. Se piden ${10}^6$ J, que son 1.000 kJ, así que hacen falta:
$1000\cancel{\text{kJ}}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{L de C}}_8{\text{H}}_{18}}{\mathrm{38019,1}\cancel{\text{kJ}}}}=\mathrm{0,026303}{\text{L de C}}_8{\text{H}}_{18}$
y a 0,97 € el litro:
$\mathrm{0,026303}\cancel{{\text{L de C}}_8{\text{H}}_{18}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,97}\text{ euros}}{1\cancel{{\text{L de C}}_8{\text{H}}_{18}}}}=\mathrm{0,0255}\text{ euros}$
El coste es de 0,0255 €, poco más de dos céntimos.


$\mathbf{\text{c)}}$ Fundir hielo cuesta energía: 6,01 kJ por cada mol de agua. Primero, cuántos moles de agua hay en 1 kg de hielo:
$M\left({\text{H}}_2\text{O}\right)=1\cdot 2+16=18\text{ g/mol}$
$1000\cancel{{\text{g de H}}_2\text{O}}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de H}}_2\text{O}}{18\cancel{{\text{g de H}}_2\text{O}}}}=\mathrm{55,56}{\text{mol de H}}_2\text{O}$
y la energía que hace falta para fundirlos todos:
$\mathrm{55,56}\cancel{{\text{mol de H}}_2\text{O}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{6,01}\text{ kJ}}{1\cancel{{\text{mol de H}}_2\text{O}}}}=\mathrm{333,89}\text{ kJ}$
Esa energía la tiene que dar la combustión del octano. Como cada litro da 38019,1 kJ:
$\mathrm{333,89}\cancel{\text{kJ}}\cdot {\displaystyle \frac{1\cancel{{\text{L de C}}_8{\text{H}}_{18}}}{\mathrm{38019,1}\cancel{\text{kJ}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1000{\text{mL de C}}_8{\text{H}}_{18}}{1\cancel{{\text{L de C}}_8{\text{H}}_{18}}}}=\mathrm{8,78}{\text{mL de C}}_8{\text{H}}_{18}$
Bastan 8,78 mL de octano, menos de una cucharada, para fundir un kilo de hielo.