Ejercicio resuelto de Entalpía y entropía · Física y Química I

El propano, ${\text{C}}_3{\text{H}}_8$, es un hidrocarburo que se utiliza habitualmente como combustible gaseoso. En un reactor de 25 L de volumen manteniendo a una temperatura constante de 150 ºC se introducen 17,6 g de propano y 72 g de oxígeno. La reacción de combustión se inicia mediante una chispa eléctrica. Calcula:

DATOS: $A_r(\text{H})=1\text{ u};A_r(\text{C})=12\text{ u};A_r(\text{O})=16\text{ u};R=\mathrm{0,082}\text{ atm}\cdot \text{L}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$; $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }[{\text{C}}_3{\text{H}}_8(g)]=-\mathrm{103,8}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$; $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }[{\text{CO}}_2(g)]=-\mathrm{393,5}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$; $\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }[{\text{H}}_2\text{O}(g)]=-\mathrm{241,8}\text{ kJ}\cdot {\text{mol}}^{-1}$.

a) La cantidad (en gramos) de vapor de agua obtenida tras finalizar la combustión.
b) La cantidad de energía en forma de calor que se libera en la combustión.
c) La presión total en el interior del reactor al finalizar la reacción.

Como se dan las cantidades de LOS DOS reactivos, lo primero en todo el ejercicio es averiguar cuál se agota antes: el reactivo limitante, que es el que decide cuánto producto se forma y cuánto calor se libera.
La entalpía sale de las entalpías de formación:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }{H}_r^{\circ }=\sum n\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }(\text{productos})-\sum n\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }(\text{reactivos})}}$
y la presión final, de la ecuación de estado, contando TODOS los gases que quedan en el reactor:
$\boxed{{\displaystyle p\cdot V=n\cdot R\cdot T}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ La combustión del propano da dióxido de carbono y agua. Ajustando: los 3 carbonos obligan a 3 moléculas de ${\text{CO}}_2$, los 8 hidrógenos a 4 de agua, y contando los oxígenos de la derecha, $3\cdot 2+4=10$, hacen falta 5 moléculas de ${\text{O}}_2$:
${\text{C}}_3{\text{H}}_8(g)+5{\text{O}}_2(g)\to 3{\text{CO}}_2(g)+4{\text{H}}_2\text{O}(g)$
A 150 ºC el agua que se forma es VAPOR, no líquida, y por eso se usa la entalpía de formación del agua gaseosa que da el enunciado.
Los moles de cada reactivo, con sus masas molares:
$M\left({\text{C}}_3{\text{H}}_8\right)=12\cdot 3+1\cdot 8=44\text{ g/mol}$
$\mathrm{17,6}\cancel{{\text{g de C}}_3{\text{H}}_8}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de C}}_3{\text{H}}_8}{44\cancel{{\text{g de C}}_3{\text{H}}_8}}}=\mathrm{0,4}{\text{mol de C}}_3{\text{H}}_8$
$M\left({\text{O}}_2\right)=16\cdot 2=32\text{ g/mol}$
$72\cancel{{\text{g de O}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de O}}_2}{32\cancel{{\text{g de O}}_2}}}=\mathrm{2,25}{\text{mol de O}}_2$
Para quemar todo el propano harían falta 5 veces más moles de oxígeno:
$\mathrm{0,4}\cancel{{\text{mol de C}}_3{\text{H}}_8}\cdot {\displaystyle \frac{5{\text{mol de O}}_2}{1\cancel{{\text{mol de C}}_3{\text{H}}_8}}}=2{\text{mol de O}}_2$
y hay 2,25 mol, más de los necesarios. Luego el PROPANO es el reactivo limitante: se consume entero y sobra oxígeno.
El agua se calcula, por tanto, a partir del propano: cada mol de propano produce 4 de agua.
$\mathrm{0,4}\cancel{{\text{mol de C}}_3{\text{H}}_8}\cdot {\displaystyle \frac{4\cancel{{\text{mol de H}}_2\text{O}}}{1\cancel{{\text{mol de C}}_3{\text{H}}_8}}}\cdot {\displaystyle \frac{18{\text{g de H}}_2\text{O}}{1\cancel{{\text{mol de H}}_2\text{O}}}}=\mathrm{28,8}{\text{g de H}}_2\text{O}$
Se obtienen 28,8 g de vapor de agua.


$\mathbf{\text{b)}}$ Primero la entalpía de combustión por mol de propano. El oxígeno es elemento libre y su entalpía de formación es cero:
$\mathrm{\Delta }{H}_r^{\circ }=3\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{CO}}_2(g))+4\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{H}}_2\text{O}(g))-\mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{C}}_3{\text{H}}_8(g))-5\cdot \mathrm{\Delta }{H}_f^{\circ }({\text{O}}_2(g))=3\cdot (-\mathrm{393,5})+4\cdot (-\mathrm{241,8})-(-\mathrm{103,8})-5\cdot 0=-\mathrm{2043,9}\text{ kJ/mol}$
y el calor que liberan los 0,4 mol de propano, que es el reactivo limitante:
$\mathrm{0,4}\cancel{{\text{mol de C}}_3{\text{H}}_8}\cdot {\displaystyle \frac{-\mathrm{2043,9}\text{ kJ}}{1\cancel{{\text{mol de C}}_3{\text{H}}_8}}}=-\mathrm{817,56}\text{ kJ}$
Se liberan 817,56 kJ en forma de calor.


$\mathbf{\text{c)}}$ Al terminar la reacción en el reactor hay tres gases: los dos productos y el oxígeno que ha sobrado. El propano no queda: se ha consumido entero por ser el limitante.
Los productos, a partir de los 0,4 mol de propano:
$\mathrm{0,4}\cancel{{\text{mol de C}}_3{\text{H}}_8}\cdot {\displaystyle \frac{3{\text{mol de CO}}_2}{1\cancel{{\text{mol de C}}_3{\text{H}}_8}}}=\mathrm{1,2}{\text{mol de CO}}_2$
$\mathrm{0,4}\cancel{{\text{mol de C}}_3{\text{H}}_8}\cdot {\displaystyle \frac{4{\text{mol de H}}_2\text{O}}{1\cancel{{\text{mol de C}}_3{\text{H}}_8}}}=\mathrm{1,6}{\text{mol de H}}_2\text{O}$
Y el oxígeno sobrante es el que había menos el que se ha gastado:
$\mathrm{2,25}-2=\mathrm{0,25}\text{ mol de }{\text{O}}_2$
En total, los moles de gas en el reactor al final son:
$\mathrm{1,2}+\mathrm{1,6}+\mathrm{0,25}=\mathrm{3,05}\text{ mol}$
Con la temperatura en kelvin ($150+273=423\text{ K}$) se despeja la presión:
$p\cdot V=n\cdot R\cdot T⟹p={\displaystyle \frac{n\cdot R\cdot T}{V}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,05}\text{ mol}\cdot \mathrm{0,082}\frac{\text{atm}\cdot \text{L}}{\text{K}\cdot \text{mol}}\cdot (150+273)\text{ K}}{25\text{ L}}}=\mathrm{4,232}\text{ atm}$
La presión total en el interior del reactor es de 4,23 atm.