Ejercicio resuelto de Reacciones químicas · Física y Química I

Industrialmente el metanol, ${\text{CH}}_3\text{OH}$, se obtiene haciendo reaccionar monóxido de carbono e hidrógeno a elevadas presiones y temperaturas. Calcula la masa de metanol que se puede obtener a partir de los reactivos contenidos en un reactor de 50 L, a 100 atm de presión y 250 °C, si el rendimiento de la reacción es del 80 %.
Dato: $R=\mathrm{0,082}(\text{atm}\cdot \text{L})\mathrm{/}(\text{mol}\cdot \text{K})$.

El enunciado no da ninguna masa: da un reactor lleno de gas. Del reactor al metanol hay cinco fórmulas, y conviene tenerlas delante antes de tocar un número.
La primera es la que permite ajustar la ecuación, y sin ella no hay proporción que aplicar después. Ajustar es imponer la ley de conservación de la masa de Lavoisier: en una reacción los átomos no se crean ni se destruyen, solo se reordenan, así que de cada elemento tiene que haber los mismos a los dos lados de la flecha:
$\boxed{{\displaystyle \acute{\text{a}}\text{tomos de X}\text{\hspace{0.17em}⁣}:\text{reactivos}=\text{productos}}}$
La segunda es la ecuación de estado de los gases ideales. Es la única manera de saber cuánta sustancia hay en el reactor, porque de la mezcla no se da ni una masa ni una concentración: solo presión, volumen y temperatura.
$\boxed{{\displaystyle p\cdot V=n\cdot R\cdot T}}$
La tercera es lo que dicen los coeficientes de la ecuación ajustada: la proporción, medida en mol, en la que las sustancias se consumen y se forman. El cociente de dos coeficientes es el factor que convierte los moles de una sustancia en los de otra:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{n_{\text{A}}}{n_{\text{B}}}}={\displaystyle \frac{\text{coeficiente de A}}{\text{coeficiente de B}}}}}$
La cuarta es la masa molar, el puente entre la cantidad de sustancia, en mol, y la masa en gramos:
$\boxed{{\displaystyle n={\displaystyle \frac{m}{M}}}}$
Y la quinta es la definición de rendimiento, que es lo que separa el máximo que la reacción daría en teoría de lo que se recoge de verdad:
$\boxed{{\displaystyle \text{Rendimiento}={\displaystyle \frac{\text{masa real}}{\text{masa te}\acute{\text{o}}\text{rica}}}\cdot 100}}$
Primer paso, la ecuación química. El enunciado no la escribe: la describe con los nombres de las sustancias. El monóxido de carbono reacciona con el hidrógeno y da metanol, de modo que el esqueleto es:
$\text{CO}+{\text{H}}_2\to {\text{CH}}_3\text{OH}$
Se cuentan los átomos de cada elemento a los dos lados, con la ecuación tal y como está escrita:
$\text{C}\text{\hspace{0.17em}⁣}:1=1;\text{H}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2\text{ frente a }4;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:1=1$
No cuadra el hidrógeno, así que hay que poner coeficientes delante de las fórmulas. Los subíndices no se tocan nunca: cambiarlos sería cambiar la sustancia. Se empieza por los elementos que aparecen en menos sitios y se dejan el hidrógeno y el oxígeno para el final.
El carbono ya está cuadrado de partida. Queda 1 átomo a cada lado.
El hidrógeno solo está en ${\text{H}}_2$ y ${\text{CH}}_3\text{OH}$: se pone un 2 delante de ${\text{H}}_2$. Quedan $2\cdot 2=4$ átomos a cada lado.
El oxígeno queda cuadrado con lo puesto hasta aquí. Queda 1 átomo a cada lado.
La ecuación ajustada queda:
$\text{CO}+\mathbf{2}{\text{H}}_2\to {\text{CH}}_3\text{OH}$
Y el recuento ya cuadra:
$\text{C}\text{\hspace{0.17em}⁣}:1=1;\text{H}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2\cdot 2=4;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:1=1$
Segundo paso, poner los datos debajo de cada sustancia. Con la ecuación ya ajustada se escribe lo que dicen de ella los coeficientes y lo que da el enunciado, para ver de un vistazo de dónde se sale y adónde hay que llegar:

	$\text{CO}$	$2{\text{H}}_2$	${\text{CH}}_3\text{OH}$ La ecuación, en mol	1 mol de monóxido de carbono	2 mol de hidrógeno	1 mol de metanol Datos del enunciado	50 L a 100 atm y 250 °C, los dos juntos		80 % de rendimiento; se pide su masa

Tercer paso, cuánta sustancia hay dentro del reactor. Los 50 L, las 100 atm y los 250 °C describen la mezcla al principio de la reacción, cuando todavía no ha reaccionado nada, así que la ecuación de estado de los gases ideales aplicada a esos tres datos da los moles de reactivos que se meten en juego.
Antes de sustituir hay que mirar las unidades, porque la ecuación solo funciona si cada dato viene en la unidad que lleva la constante, y el «Dato:» del enunciado la da como $R=\mathrm{0,082}(\text{atm}\cdot \text{L})\mathrm{/}(\text{mol}\cdot \text{K})$: la presión en atmósferas, el volumen en litros y la temperatura en kelvin. La presión ya está en atmósferas y el volumen en litros; la temperatura, en cambio, viene en grados Celsius y hay que pasarla a la escala absoluta, que se obtiene sumándole 273:
$T=250+273=523\text{ K}$
Y ahora se despeja de la ecuación de estado la cantidad de sustancia (la incógnita es $n$, así que $R\cdot T$ pasa al otro lado dividiendo) y se sustituye:
$p\cdot V=n\cdot R\cdot T⟹n={\displaystyle \frac{p\cdot V}{R\cdot T}}={\displaystyle \frac{100\text{ atm}\cdot 50\text{ L}}{\mathrm{0,082}\frac{\text{atm}\cdot \text{L}}{\text{K}\cdot \text{mol}}\cdot (250+273)\text{ K}}}=\mathrm{116,588}\text{ mol de mezcla}$
Las unidades se van solas: las atmósferas y los litros de arriba se tachan con los de la constante, los kelvin con los kelvin, y lo único que queda en pie es el mol.
Ese número es de la MEZCLA entera, no de una sustancia: la ecuación de estado no distingue unos gases de otros, solo cuenta partículas. Sirve igual para el monóxido de carbono que para el hidrógeno, y de hecho cuenta los dos a la vez.
Cuarto paso, repartir esa mezcla entre los dos reactivos. Aquí conviene pararse, porque el enunciado no dice en qué proporción está mezclado el monóxido de carbono con el hidrógeno, y sin esa proporción el problema no se puede resolver. La única hipótesis que lo hace resoluble, y la que toma el solucionario, es que la mezcla sea la estequiométrica: la que está en la misma proporción que pide la ecuación ajustada, de manera que los dos reactivos se agotan a la vez y no sobra ninguno. Los coeficientes dicen que por cada mol de $\text{CO}$ hacen falta 2 de ${\text{H}}_2$, así que una tanda completa de reactivos son $1+2=3$ mol. De cada 3 mol de mezcla, por tanto, 1 es de monóxido de carbono y los otros 2 son de hidrógeno:
$\mathrm{116,588}\cancel{\text{mol de mezcla}}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ mol de CO}}{3\cancel{\text{mol de mezcla}}}}=\mathrm{38,863}\text{ mol de CO}$
$\mathrm{116,588}\cancel{\text{mol de mezcla}}\cdot {\displaystyle \frac{2{\text{mol de H}}_2}{3\cancel{\text{mol de mezcla}}}}=\mathrm{77,725}{\text{mol de H}}_2$
La suma devuelve la mezcla entera, $\mathrm{38,863}+\mathrm{77,725}=\mathrm{116,588}$ mol, que es la comprobación de que el reparto no ha inventado ni perdido sustancia por el camino.
Quinto paso, del monóxido de carbono al metanol. Aquí vuelve a entrar la ecuación ajustada, ahora para relacionar un reactivo con el producto: 1 mol de $\text{CO}$ da 1 mol de ${\text{CH}}_3\text{OH}$, así que esa fracción se coloca con el metanol arriba y el monóxido abajo, para que se tachen los moles de monóxido y queden los de metanol:
$\mathrm{38,863}\cancel{\text{mol de CO}}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de CH}}_3\text{OH}}{1\cancel{\text{mol de CO}}}}=\mathrm{38,863}{\text{mol de CH}}_3\text{OH}$
El hidrógeno tiene que dar lo mismo, y eso es exactamente lo que significa que la mezcla sea la estequiométrica. Se comprueba haciendo la cuenta por el otro camino, con la relación 2 a 1 que marca la ecuación:
$\mathrm{77,725}\cancel{{\text{mol de H}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de CH}}_3\text{OH}}{2\cancel{{\text{mol de H}}_2}}}=\mathrm{38,863}{\text{mol de CH}}_3\text{OH}$
Salen los mismos moles de metanol, luego ninguno de los dos reactivos limita al otro: se acaban a la vez.
Sexto paso, de los moles de metanol a los gramos que pide la pregunta. El puente es la masa molar, que se obtiene sumando las masas atómicas de todos los átomos de la fórmula. En ${\text{CH}}_3\text{OH}$ hay un átomo de carbono, cuatro de hidrógeno (los tres del grupo ${\text{CH}}_3$ y el del $\text{OH}$) y uno de oxígeno:
$M\left({\text{CH}}_3\text{OH}\right)=\mathrm{12,00}+\mathrm{1,008}\cdot 4+\mathrm{16,00}=\mathrm{32,032}\text{ g/mol}$
Cada mol de metanol pesa esos gramos, de modo que el factor de conversión lleva ahora los gramos arriba:
$\mathrm{38,863}\cancel{{\text{mol de CH}}_3\text{OH}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{32,032}{\text{g de CH}}_3\text{OH}}{1\cancel{{\text{mol de CH}}_3\text{OH}}}}=\mathrm{1244,86}{\text{g de CH}}_3\text{OH}$
Esa es la masa TEÓRICA: la que se obtendría si todo el monóxido de carbono se transformara en metanol y no se perdiera nada al recogerlo.
Séptimo paso, el rendimiento. La reacción no es perfecta: el enunciado dice que rinde un 80 %, es decir, que de cada 100 g de metanol que la reacción daría en teoría solo se obtienen 80 g de verdad. Escrito como factor de conversión, con los gramos teóricos abajo para que se tachen con los que trae el número de la izquierda:
$\mathrm{1244,86}\cancel{{\text{g de CH}}_3\text{OH te}\acute{\text{o}}\text{ricos}}\cdot {\displaystyle \frac{80{\text{g de CH}}_3\text{OH reales}}{100\cancel{{\text{g de CH}}_3\text{OH te}\acute{\text{o}}\text{ricos}}}}=\mathrm{995,89}{\text{g de CH}}_3\text{OH reales}$
Se obtienen, por tanto, $\mathrm{995,89}$ g de metanol, que a la unidad son $996$ g. Ese redondeo es el razonable aquí, porque los datos del enunciado traen dos o tres cifras significativas, y es el que da el solucionario.
Rehaciendo la cuenta entera de una sola tirada, sin redondear en ningún paso intermedio, salen $\mathrm{995,881}$ g, que difieren en menos de una centésima de gramo de los $\mathrm{995,89}$ g de arriba: eso es todo lo que arrastran los redondeos del camino, y a la unidad los dos dan los mismos $996$ g. El número tiene sentido, además, porque es menor que el máximo teórico de $\mathrm{1244,86}$ g, como tiene que ser cuando el rendimiento no llega al 100 %.