Ejercicio resuelto de Reacciones químicas · Física y Química I

En un alto horno moderno se utiliza ${\text{Fe}}_3{\text{O}}_4$ para producir 3 kt de hierro al día. Calcula:

a) La masa de ${\text{CO}}_2$ que se emite a la atmósfera cada día por este motivo.
b) Los litros de gasolina, ${\text{C}}_8{\text{H}}_{10}$, que hay que quemar para emitir la misma cantidad de ${\text{CO}}_2$.
Dato: $d_{\text{gasolina}}=\mathrm{0,76}\text{ g/L}$.

El ejercicio encadena dos reacciones distintas, la que ocurre dentro del alto horno y la combustión de la gasolina, por una sola sustancia: el dióxido de carbono. Lo que sale de la primera es el dato de partida de la segunda. Y las dos se resuelven con la misma idea: la ecuación ajustada dice en qué proporción, contada en mol, se gastan y se forman las sustancias, de modo que todo consiste en traducir a mol lo que da el enunciado, cruzar esa proporción y traducir de vuelta lo que se pide. Hacen falta cuatro herramientas, y conviene tenerlas delante antes de tocar ningún número.
La primera es la ley de conservación de la masa de Lavoisier, que es la que obliga a ajustar las ecuaciones: en una reacción química los átomos no se crean ni se destruyen, solo se reordenan, así que de cada elemento tiene que haber los mismos a un lado y al otro de la flecha.
$\boxed{{\displaystyle \acute{\text{a}}\text{tomos de X}\text{\hspace{0.17em}⁣}:\text{reactivos}=\text{productos}}}$
La segunda es la masa molar, el puente entre los gramos que marca la balanza y los mol con los que trabaja la estequiometría. Es la masa de un mol de sustancia y se obtiene sumando las masas atómicas de todos los átomos de la fórmula.
$\boxed{{\displaystyle n={\displaystyle \frac{m}{M}}}}$
La tercera es la estequiometría propiamente dicha: los coeficientes de la ecuación ya ajustada fijan la proporción en mol, y esa proporción se mantiene reaccione la cantidad que reaccione, de modo que el cociente de dos coeficientes es el factor que convierte los mol de una sustancia en los de la otra.
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{n_{\text{A}}}{n_{\text{B}}}}={\displaystyle \frac{\text{coeficiente de A}}{\text{coeficiente de B}}}}}$
Y la cuarta es la densidad, porque la gasolina no se pide en gramos sino en litros. La densidad es la masa que tiene cada unidad de volumen, y es lo que permite pasar de una a otro.
$\boxed{{\displaystyle d={\displaystyle \frac{m}{V}}}}$
Conviene además tener claras las unidades de masa que usa el enunciado, porque la kilotonelada no es de las que se manejan a diario: una kilotonelada son mil toneladas, una tonelada son mil kilogramos y un kilogramo son mil gramos, así que una kilotonelada son mil millones de gramos.

$\mathbf{\text{a)}}$ Primer paso: la reacción que ocurre en el alto horno. El enunciado solo dice que se parte de ${\text{Fe}}_3{\text{O}}_4$, la magnetita, así que hay que reconstruir cómo se saca el hierro de su mineral. Y dentro del horno no reaccionan el mineral y el carbono cara a cara: pasan dos cosas, una detrás de otra.
La primera es que el coque, que es carbono casi puro, arde con el oxígeno del aire que se insufla por la parte de abajo. Como hay carbón al rojo de sobra y oxígeno en defecto, la combustión se queda a medias y no llega al dióxido de carbono: lo que se forma es monóxido de carbono, $\text{CO}$.
$\text{C}+{\text{O}}_2\to \text{CO}$
Se cuentan los átomos de cada elemento a los dos lados, con la ecuación tal y como está escrita:
$\text{C}\text{\hspace{0.17em}⁣}:1=1;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2\text{ frente a }1$
No cuadra el oxígeno, así que hay que poner coeficientes delante de las fórmulas. Los subíndices no se tocan nunca: cambiarlos sería cambiar la sustancia. Se empieza por los elementos que aparecen en menos sitios y se deja el oxígeno para el final.
El carbono solo está en $\text{C}$ y $\text{CO}$, y con un 1 delante de cada uno ya cuadraría. Pero entonces habría que poner ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ delante de ${\text{O}}_2$, y los coeficientes tienen que ser números enteros: se multiplica todo por 2 y se pone un 2 delante de $\text{C}$ y un 2 delante de $\text{CO}$. Quedan 2 átomos a cada lado.
El oxígeno queda cuadrado con lo puesto hasta aquí. Quedan 2 átomos a cada lado.
La ecuación ajustada queda:
$\mathbf{2}\text{C}+{\text{O}}_2\to \mathbf{2}\text{CO}$
Y el recuento ya cuadra:
$\text{C}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2=2;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2=2$
La segunda es la que de verdad saca el hierro. Ese monóxido de carbono sube caliente por el horno y le arranca el oxígeno a la magnetita: se lo queda él, convirtiéndose en dióxido de carbono, y el hierro metálico funde y cae al fondo del horno.
${\text{Fe}}_3{\text{O}}_4+\text{CO}\to \text{Fe}+{\text{CO}}_2$
Se cuentan los átomos de cada elemento a los dos lados, con la ecuación tal y como está escrita:
$\text{C}\text{\hspace{0.17em}⁣}:1=1;\text{Fe}\text{\hspace{0.17em}⁣}:3\text{ frente a }1;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:4+1\text{ frente a }2$
No cuadran el hierro ni el oxígeno, así que hay que poner coeficientes delante de las fórmulas. Los subíndices no se tocan nunca: cambiarlos sería cambiar la sustancia. Se empieza por los elementos que aparecen en menos sitios y se deja el oxígeno para el final.
El carbono solo está en $\text{CO}$ y ${\text{CO}}_2$, y con un 1 delante de cada uno ya cuadraría. Pero entonces habría que poner ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ delante de ${\text{Fe}}_3{\text{O}}_4$ y ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ delante de $\text{Fe}$, y los coeficientes tienen que ser números enteros: se multiplica todo por 4 y se pone un 4 delante de $\text{CO}$ y un 4 delante de ${\text{CO}}_2$. Quedan 4 átomos a cada lado.
El hierro solo está en ${\text{Fe}}_3{\text{O}}_4$ y $\text{Fe}$: se pone un 3 delante de $\text{Fe}$. Quedan 3 átomos a cada lado.
El oxígeno queda cuadrado con lo puesto hasta aquí. Quedan $4+4=4\cdot 2$ átomos a cada lado.
La ecuación ajustada queda:
${\text{Fe}}_3{\text{O}}_4+\mathbf{4}\text{CO}\to \mathbf{3}\text{Fe}+\mathbf{4}{\text{CO}}_2$
Y el recuento ya cuadra:
$\text{C}\text{\hspace{0.17em}⁣}:4=4;\text{Fe}\text{\hspace{0.17em}⁣}:3=3;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:4+4=4\cdot 2$
Falta juntar las dos en una sola ecuación, que es la que relaciona directamente el hierro que sale del horno con el dióxido de carbono que se emite. Cada vez que ocurre la segunda se consumen 4 mol de $\text{CO}$, y cada vez que ocurre la primera solo se producen 2, de manera que hay que contar la primera 2 veces. Sumando entonces 2 veces la primera y una vez la segunda, el monóxido de carbono queda con el mismo coeficiente, 4, a los dos lados de la suma: es producto de la primera y reactivo de la segunda. Se cancela entero y no figura en la reacción global.
$\mathbf{4}\text{C}+\mathbf{2}{\text{O}}_2+{\text{Fe}}_3{\text{O}}_4\to \mathbf{3}\text{Fe}+\mathbf{4}{\text{CO}}_2$
El recuento de átomos cuadra, como no podía ser de otra manera al venir de dos ecuaciones que ya cuadraban:
$\text{C}\text{\hspace{0.17em}⁣}:4=4;\text{Fe}\text{\hspace{0.17em}⁣}:3=3;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2\cdot 2+4=4\cdot 2$
Merece la pena detenerse en algo que esta ecuación tiene de especial, y que es justo la razón de haber pasado por las dos etapas en vez de escribirla directamente: no se puede ajustar por tanteo. Contar átomos no basta para fijar sus coeficientes, porque hay más de una manera de cuadrarla. Esta otra, por ejemplo, también cuadra:
$\mathbf{5}\text{C}+\mathbf{3}{\text{O}}_2+{\text{Fe}}_3{\text{O}}_4\to \mathbf{3}\text{Fe}+\mathbf{5}{\text{CO}}_2$
Y no es un error: corresponde a quemar además un poco de coque hasta dióxido de carbono directamente, cosa que en el horno también ocurre. Los coeficientes buenos son los que se acaban de obtener, y son buenos precisamente porque salen de sumar las dos etapas del proceso, no de tantear la ecuación global.
Segundo paso: ordenar los datos. Debajo de cada sustancia se escribe lo que dice la ecuación ajustada, contado en mol, y lo que da el enunciado.

	$4\text{C}$	$2{\text{O}}_2$	${\text{Fe}}_3{\text{O}}_4$	$3\text{Fe}$	$4{\text{CO}}_2$ La ecuación, en mol	4 mol de carbono	2 mol de oxígeno	1 mol de magnetita	3 mol de hierro	4 mol de dióxido de carbono Datos del enunciado				3 kt al día	se pide su masa

La tabla deja el camino a la vista: el dato está en la columna del hierro y la pregunta, en la del dióxido de carbono. Lo único que las une es la proporción 3 : 4 de la ecuación, que está contada en mol, así que hay que bajar hasta el mol por un lado y volver a subir por el otro.
Tercer paso: las 3 kt de hierro, a gramos. Son tres factores de conversión encadenados, uno por cada escalón de las unidades de masa:
$3\cancel{\text{kt de Fe}}\cdot {\displaystyle \frac{1000\cancel{\text{t de Fe}}}{1\cancel{\text{kt de Fe}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1000\cancel{\text{kg de Fe}}}{1\cancel{\text{t de Fe}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1000\text{ g de Fe}}{1\cancel{\text{kg de Fe}}}}=3\cdot {10}^9\text{ g de Fe}$
Cuarto paso: esos gramos, a mol. El puente es la masa molar del hierro, que al ser un elemento coincide con su masa atómica: no hay nada que sumar.
$M\left(\text{Fe}\right)=\mathrm{55,85}\text{ g/mol}$
Cada 55,85 g de hierro son 1 mol, de modo que el factor de conversión se escribe con los gramos abajo, que es la unidad que se va:
$3\cdot {10}^9\cancel{\text{g de Fe}}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ mol de Fe}}{\mathrm{55,85}\cancel{\text{g de Fe}}}}=\mathrm{5,3715}\cdot {10}^7\text{ mol de Fe}$
Quinto paso: de mol de hierro a mol de dióxido de carbono. Aquí manda la ecuación ajustada, y solo ella: por cada 3 mol de hierro que salen del horno se emiten 4 mol de dióxido de carbono.
${\displaystyle \frac{n\left({\text{CO}}_2\right)}{n\left(\text{Fe}\right)}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$
$\mathrm{5,3715}\cdot {10}^7\cancel{\text{mol de Fe}}\cdot {\displaystyle \frac{4{\text{mol de CO}}_2}{3\cancel{\text{mol de Fe}}}}=\mathrm{7,162}\cdot {10}^7{\text{mol de CO}}_2$
Sexto paso: esos mol, a gramos. El puente vuelve a ser una masa molar, ahora la del dióxido de carbono, que se obtiene sumando la masa atómica de su carbono y las de sus dos oxígenos:
$M\left({\text{CO}}_2\right)=\mathrm{12,00}+\mathrm{16,00}\cdot 2=44\text{ g/mol}$
$\mathrm{7,162}\cdot {10}^7\cancel{{\text{mol de CO}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{44{\text{g de CO}}_2}{1\cancel{{\text{mol de CO}}_2}}}=\mathrm{3,1513}\cdot {10}^9{\text{g de CO}}_2$
Y como el enunciado da el hierro en kilotoneladas, la respuesta se entiende mejor en las mismas unidades. Se deshace el camino del tercer paso:
$\mathrm{3,1513}\cdot {10}^9\cancel{{\text{g de CO}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{1\cancel{{\text{kg de CO}}_2}}{1000\cancel{{\text{g de CO}}_2}}}\cdot {\displaystyle \frac{1\cancel{{\text{t de CO}}_2}}{1000\cancel{{\text{kg de CO}}_2}}}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{kt de CO}}_2}{1000\cancel{{\text{t de CO}}_2}}}=\mathrm{3,1513}{\text{kt de CO}}_2$
La cuenta entera da 3,1513 kt, pero el dato de partida, 3 kt, trae una sola cifra significativa, así que arrastrar cinco es aparentar una precisión que no se tiene: la respuesta se da como 3,15 kt de dióxido de carbono al día, y leída con rigor lo que dice es que un alto horno de estas dimensiones emite del orden de 3 kt diarias.
Y vale la pena leer ese resultado despacio: por cada 3 kt de hierro que sale del horno se emiten 3,15 kt de dióxido de carbono, algo más de lo que pesa el propio hierro, y eso solo por reducir el mineral.


$\mathbf{\text{b)}}$ Primer paso: la reacción, que ahora es otra. La gasolina de verdad no es una sustancia pura, sino una mezcla de muchos hidrocarburos, así que cualquier fórmula que se le ponga es un modelo; el enunciado da la suya, ${\text{C}}_8{\text{H}}_{10}$, y con ella se trabaja. Lo que sí es común a todos los hidrocarburos es cómo arden: con oxígeno de sobra, todo su carbono acaba en dióxido de carbono, ${\text{CO}}_2$, y todo su hidrógeno en agua, ${\text{H}}_2\text{O}$.
${\text{C}}_8{\text{H}}_{10}+{\text{O}}_2\to {\text{H}}_2\text{O}+{\text{CO}}_2$
Se cuentan los átomos de cada elemento a los dos lados, con la ecuación tal y como está escrita:
$\text{C}\text{\hspace{0.17em}⁣}:8\text{ frente a }1;\text{H}\text{\hspace{0.17em}⁣}:10\text{ frente a }2;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2\text{ frente a }1+2$
No cuadran el carbono ni el hidrógeno ni el oxígeno, así que hay que poner coeficientes delante de las fórmulas. Los subíndices no se tocan nunca: cambiarlos sería cambiar la sustancia. Se empieza por los elementos que aparecen en menos sitios y se dejan el hidrógeno y el oxígeno para el final.
El carbono solo está en ${\text{C}}_8{\text{H}}_{10}$ y ${\text{CO}}_2$, y para cuadrarlo bastaría con 1 ${\text{C}}_8{\text{H}}_{10}$ y 8 ${\text{CO}}_2$. Pero entonces habría que poner ${\displaystyle \frac{21}{2}}$ delante de ${\text{O}}_2$, y los coeficientes tienen que ser números enteros: se multiplica todo por 2 y se pone un 2 delante de ${\text{C}}_8{\text{H}}_{10}$ y un 16 delante de ${\text{CO}}_2$. Quedan $2\cdot 8=16$ átomos a cada lado.
El hidrógeno solo está en ${\text{C}}_8{\text{H}}_{10}$ y ${\text{H}}_2\text{O}$: se pone un 10 delante de ${\text{H}}_2\text{O}$. Quedan $2\cdot 10=10\cdot 2$ átomos a cada lado.
El oxígeno está en ${\text{O}}_2$, ${\text{H}}_2\text{O}$ y ${\text{CO}}_2$: se pone un 21 delante de ${\text{O}}_2$. Quedan $21\cdot 2=10+16\cdot 2$ átomos a cada lado.
La ecuación ajustada queda:
$\mathbf{2}{\text{C}}_8{\text{H}}_{10}+\mathbf{21}{\text{O}}_2\to \mathbf{10}{\text{H}}_2\text{O}+\mathbf{16}{\text{CO}}_2$
Y el recuento ya cuadra:
$\text{C}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2\cdot 8=16;\text{H}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2\cdot 10=10\cdot 2;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:21\cdot 2=10+16\cdot 2$
El 2 delante de la gasolina es lo único que no sale de contar directamente. Si se dejara una sola molécula de ${\text{C}}_8{\text{H}}_{10}$, sus 8 átomos de carbono pedirían 8 ${\text{CO}}_2$ y sus 10 átomos de hidrógeno, 5 ${\text{H}}_2\text{O}$. A la derecha habría entonces estos átomos de oxígeno:
$8\cdot 2+5=21$
Y 21 es impar, mientras que el oxígeno de la izquierda entra en moléculas de ${\text{O}}_2$, que siempre aportan los átomos de dos en dos. Haría falta un coeficiente fraccionario, así que se multiplica toda la ecuación por 2 y las fracciones desaparecen.
Segundo paso: ordenar los datos. «La misma cantidad de dióxido de carbono» son los $\mathrm{3,1513}\cdot {10}^9\text{ g}$ que se han calculado en el apartado anterior, y ahora ese dióxido de carbono ya no es lo que se pregunta, sino el dato: es un producto del que se sabe la masa.

	$2{\text{C}}_8{\text{H}}_{10}$	$21{\text{O}}_2$	$10{\text{H}}_2\text{O}$	$16{\text{CO}}_2$ La ecuación, en mol	2 mol de gasolina	21 mol de oxígeno	10 mol de agua	16 mol de dióxido de carbono Datos del enunciado	se piden sus litros			$\mathrm{3,1513}\cdot {10}^9\text{ g}$

Tercer paso: esos gramos de dióxido de carbono, a mol, con su masa molar:
$M\left({\text{CO}}_2\right)=\mathrm{12,00}+\mathrm{16,00}\cdot 2=44\text{ g/mol}$
$\mathrm{3,1513}\cdot {10}^9\cancel{{\text{g de CO}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de CO}}_2}{44\cancel{{\text{g de CO}}_2}}}=\mathrm{7,162}\cdot {10}^7{\text{mol de CO}}_2$
Cuarto paso: de mol de dióxido de carbono a mol de gasolina. La proporción vuelve a salir de la ecuación ajustada, que dice que cada 2 mol de gasolina que arden sueltan 16 mol de dióxido de carbono; como ahora se va en sentido contrario, el factor se escribe al revés.
${\displaystyle \frac{n\left({\text{C}}_8{\text{H}}_{10}\right)}{n\left({\text{CO}}_2\right)}}={\displaystyle \frac{2}{16}}$
$\mathrm{7,162}\cdot {10}^7\cancel{{\text{mol de CO}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{2{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{10}}{16\cancel{{\text{mol de CO}}_2}}}=\mathrm{8,9525}\cdot {10}^6{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{10}$
Quinto paso: esos mol, a gramos, con la masa molar de la gasolina, que se obtiene sumando las masas atómicas de sus 8 átomos de carbono y sus 10 de hidrógeno:
$M\left({\text{C}}_8{\text{H}}_{10}\right)=\mathrm{12,00}\cdot 8+\mathrm{1,008}\cdot 10=\mathrm{106,08}\text{ g/mol}$
$\mathrm{8,9525}\cdot {10}^6\cancel{{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{10}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{106,08}{\text{g de C}}_8{\text{H}}_{10}}{1\cancel{{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{10}}}}=\mathrm{9,4968}\cdot {10}^8{\text{g de C}}_8{\text{H}}_{10}$
Sexto paso: de gramos a litros, que es lo que pide el enunciado. Aquí entra el dato de la densidad. Como la densidad es la masa dividida entre el volumen, el volumen es la masa dividida entre la densidad:
$d={\displaystyle \frac{m}{V}}⟹V={\displaystyle \frac{m}{d}}$
Y esa división es exactamente un factor de conversión: el dato dice que cada litro de gasolina tiene una masa de 0,76 g, así que el factor se escribe con los gramos abajo, que es la unidad que se va.
$\mathrm{9,4968}\cdot {10}^8\cancel{{\text{g de C}}_8{\text{H}}_{10}}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{L de C}}_8{\text{H}}_{10}}{\mathrm{0,76}\cancel{{\text{g de C}}_8{\text{H}}_{10}}}}=\mathrm{1,2496}\cdot {10}^9{\text{L de C}}_8{\text{H}}_{10}$
Salen $\mathrm{1,2496}\cdot {10}^9\text{ L}$, es decir, unos $\mathrm{1,25}\cdot {10}^9\text{ L}$ de gasolina al día.
Conviene mirar ese número con desconfianza, porque lo que lo hincha es el propio dato de la densidad. Decir 0,76 g/L es decir que un litro entero de gasolina tiene una masa de 0,76 g, menos que un litro de aire, y la gasolina es un líquido. La densidad real de la gasolina es de unos 0,76 g por mililitro, mil veces mayor; con ella, esta misma cuenta daría $\mathrm{1,25}\cdot {10}^6\text{ L}$, o sea unos 1250 metros cúbicos (cada metro cúbico son mil litros), que ya es una cifra creíble para lo que consume una instalación industrial en un día.
Lo que no depende de la densidad, porque se ha calculado antes de usarla, es la masa: hacen falta $\mathrm{9,4968}\cdot {10}^8{\text{g de C}}_8{\text{H}}_{10}$, unas 950 toneladas. Quemar esas 950 toneladas de gasolina emite tanto dióxido de carbono como producir las 3 kt de hierro del apartado anterior.