Ejercicio resuelto de Reacciones químicas · Física y Química I

El hierro se obtiene en los altos hornos haciendo reaccionar un mineral de hierro con carbono. Para este proceso se pueden utilizar menas de corindón, ${\text{Fe}}_2{\text{O}}_3$, magnetita, ${\text{Fe}}_3{\text{O}}_4$, o pirita, ${\text{FeS}}_2$. Suponiendo que el costo de extracción y transporte de las tres menas fuese el mismo, calcula cuál de las tres sería la más adecuada para obtener hierro.

Aquí no hay ninguna ecuación que ajustar, y conviene ver por qué. El enunciado pone las tres menas en igualdad de condiciones —el mismo costo de extracción y el mismo de transporte—, de manera que lo único que las distingue es cuánto hierro lleva dentro cada kilogramo de mineral.
Y ese hierro se puede contar sin saber siquiera lo que pasa dentro del alto horno: en una reacción química los átomos no se crean ni se destruyen, solo se reordenan, así que todo el hierro que sale del horno estaba ya en la mena que entró. Sea cual sea el proceso, la mena más adecuada será la que lleve el mayor porcentaje de hierro en masa.
Ese porcentaje es la composición centesimal en hierro del compuesto: de lo que pesa un mol de mena, la parte que corresponde a los átomos de hierro, multiplicada por cien. Si la fórmula lleva $n_{\text{Fe}}$ átomos de hierro y cada uno pesa $M_{\text{Fe}}$:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\%}\text{ en Fe}={\displaystyle \frac{n_{\text{Fe}}\cdot M_{\text{Fe}}}{M_{\text{mena}}}}\cdot 100}}$
Las dos masas de esa fracción están referidas al mismo mol de mena, así que al dividirlas el «por mol» se cancela y queda un número puro: la fracción de la masa de la mena que es hierro.
La masa molar del denominador se calcula con un sumando por elemento, los átomos que dice la fórmula multiplicados por su masa atómica:
$\boxed{{\displaystyle M_{\text{mena}}=n_1\cdot M_1+n_2\cdot M_2+\dots }}$
Antes de empezar, un apunte de nomenclatura. El mineral que el enunciado llama corindón y al que da la fórmula ${\text{Fe}}_2{\text{O}}_3$ es en realidad la hematites; el corindón es óxido de aluminio, ${\text{Al}}_2{\text{O}}_3$, y no sirve para obtener hierro. Para la cuenta lo que manda es la fórmula, y la fórmula que da el enunciado sí es la de una mena de hierro, de modo que el ejercicio se resuelve con ella tal cual.
Hay que hacer, por tanto, tres veces la misma cuenta, una por mena.
Primera mena, la que el enunciado llama corindón: ${\text{Fe}}_2{\text{O}}_3$.
Su fórmula dice que en cada mol de mena hay 2 mol de átomos de hierro y 3 mol de átomos de oxígeno. Lo primero, entonces, es lo que pesa ese mol, que se obtiene sumando las masas atómicas de todos los átomos de la fórmula:
$M\left({\text{Fe}}_2{\text{O}}_3\right)=\mathrm{55,85}\cdot 2+\mathrm{16,00}\cdot 3=\mathrm{159,7}\text{ g/mol}$
De esos 159,7 g, la parte que es hierro son los 2 mol de átomos de Fe que lleva la fórmula. Lo que pesan lo da la masa atómica del hierro, 55,85 g por cada mol de átomos:
$1\cancel{{\text{mol de Fe}}_2{\text{O}}_3}\cdot {\displaystyle \frac{2\cancel{\text{mol de Fe}}}{1\cancel{{\text{mol de Fe}}_2{\text{O}}_3}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{55,85}\text{ g de Fe}}{1\cancel{\text{mol de Fe}}}}=\mathrm{111,7}\text{ g de Fe}$
Ya están las dos masas que pide la fórmula del porcentaje: de los 159,7 g que pesa un mol de mena, 111,7 g son hierro.
$\mathrm{\%}\text{ en Fe}={\displaystyle \frac{\mathrm{111,7}\text{ g de Fe}}{\mathrm{159,7}{\text{g de Fe}}_2{\text{O}}_3}}\cdot 100=\mathrm{69,94}\mathrm{\%}$
Segunda mena, la magnetita: ${\text{Fe}}_3{\text{O}}_4$. Es un óxido distinto, con más hierro por cada oxígeno que el anterior, así que ya se puede sospechar que el porcentaje subirá.
Su fórmula dice que en cada mol de mena hay 3 mol de átomos de hierro y 4 mol de átomos de oxígeno. Lo primero, entonces, es lo que pesa ese mol, que se obtiene sumando las masas atómicas de todos los átomos de la fórmula:
$M\left({\text{Fe}}_3{\text{O}}_4\right)=\mathrm{55,85}\cdot 3+\mathrm{16,00}\cdot 4=\mathrm{231,55}\text{ g/mol}$
El camino es el mismo: de los 231,55 g que pesa el mol, el hierro son los 3 mol de átomos de Fe de la fórmula, a 55,85 g el mol de átomos:
$1\cancel{{\text{mol de Fe}}_3{\text{O}}_4}\cdot {\displaystyle \frac{3\cancel{\text{mol de Fe}}}{1\cancel{{\text{mol de Fe}}_3{\text{O}}_4}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{55,85}\text{ g de Fe}}{1\cancel{\text{mol de Fe}}}}=\mathrm{167,55}\text{ g de Fe}$
Ya están las dos masas que pide la fórmula del porcentaje: de los 231,55 g que pesa un mol de mena, 167,55 g son hierro.
$\mathrm{\%}\text{ en Fe}={\displaystyle \frac{\mathrm{167,55}\text{ g de Fe}}{\mathrm{231,55}{\text{g de Fe}}_3{\text{O}}_4}}\cdot 100=\mathrm{72,36}\mathrm{\%}$
Tercera mena, la pirita: ${\text{FeS}}_2$. Aquí el hierro no va acompañado de oxígeno, sino de azufre, cuya masa atómica (32,06) es prácticamente el doble de la del oxígeno (16,00), y que además va de dos en dos por cada átomo de hierro.
Su fórmula dice que en cada mol de mena hay 1 mol de átomos de hierro y 2 mol de átomos de azufre. Lo primero, entonces, es lo que pesa ese mol, que se obtiene sumando las masas atómicas de todos los átomos de la fórmula:
$M\left({\text{FeS}}_2\right)=\mathrm{55,85}+\mathrm{32,06}\cdot 2=\mathrm{119,97}\text{ g/mol}$
Con un solo átomo de hierro por fórmula, el mol de mena solo aporta 1 mol de átomos de Fe, y pesan:
$1\cancel{{\text{mol de FeS}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{1\cancel{\text{mol de Fe}}}{1\cancel{{\text{mol de FeS}}_2}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{55,85}\text{ g de Fe}}{1\cancel{\text{mol de Fe}}}}=\mathrm{55,85}\text{ g de Fe}$
Ya están las dos masas que pide la fórmula del porcentaje: de los 119,97 g que pesa un mol de mena, 55,85 g son hierro.
$\mathrm{\%}\text{ en Fe}={\displaystyle \frac{\mathrm{55,85}\text{ g de Fe}}{\mathrm{119,97}{\text{g de FeS}}_2}}\cdot 100=\mathrm{46,55}\mathrm{\%}$
Ya se pueden comparar los tres resultados. Redondeados a una cifra decimal, y puestos de menor a mayor:
$\mathrm{46,6}\mathrm{\%}({\text{FeS}}_2)<\mathrm{69,9}\mathrm{\%}({\text{Fe}}_2{\text{O}}_3)<\mathrm{72,4}\mathrm{\%}({\text{Fe}}_3{\text{O}}_4)$
El porcentaje más alto de hierro lo proporciona la magnetita, ${\text{Fe}}_3{\text{O}}_4$: esa es, de las tres, la mena más adecuada para obtener hierro.
Puesto en cifras de alto horno se ve mejor lo que significa esa diferencia. De cada tonelada de magnetita que se mueve se pueden sacar, como mucho:
$1000\cancel{{\text{kg de Fe}}_3{\text{O}}_4}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{72,4}\text{ kg de Fe}}{100\cancel{{\text{kg de Fe}}_3{\text{O}}_4}}}=724\text{ kg de Fe}$
La misma cuenta, con el porcentaje de cada una de las otras dos, da 699 kg de hierro por tonelada de ${\text{Fe}}_2{\text{O}}_3$ y solo 466 kg por tonelada de pirita: 258 kg menos que la magnetita por cada tonelada de mineral extraído y transportado.
Conviene recordar de dónde sale el criterio: es el enunciado el que supone iguales el costo de extracción y el de transporte, y por eso la comparación se reduce al contenido en hierro. En un alto horno real pesan además otras cosas; la pirita, por ejemplo, lleva azufre, que se convierte en un contaminante difícil de manejar y la deja fuera de la siderurgia por mucho hierro que llevase.