Ejercicio resuelto de Reacciones químicas · Física y Química I

El ${\text{P}}_4(g)$ reacciona con el ${\text{Cl}}_2(g)$ para dar ${\text{PCl}}_3(g)$. En un recipiente de 15 L que contiene ${\text{Cl}}_2$ en condiciones estándar se introducen 20 g de fósforo y se ponen en condiciones de reaccionar.

a) ¿Cuál es la máxima cantidad de tricloruro de fósforo que se puede obtener?
b) Determina la presión que ejercerá si se recoge en un recipiente de 15 L a 50 °C.
Datos: $R=\mathrm{0,082}(\text{atm}\cdot \text{L})\mathrm{/}(\text{mol}\cdot \text{K})$, cond. est.: 0 °C, ${10}^5\text{ Pa}$; $1\text{ atm}=\mathrm{1,013}\cdot {10}^5\text{ Pa}$.

Lo primero que hay que ver es que el enunciado da la cantidad de LOS DOS reactivos, aunque de dos maneras distintas: del fósforo da la masa, 20 g, y del cloro da el recipiente que lo contiene, 15 L en condiciones estándar. Cuando se conocen los dos, lo normal es que no estén en la proporción exacta que pide la reacción, así que uno se agota antes y, en cuanto se agota, la reacción se para aunque del otro quede de sobra. Ese es el reactivo limitante, y es él quien fija el «máximo» por el que pregunta el apartado a). Hacen falta cinco herramientas, y conviene tenerlas delante antes de tocar ningún número.
La primera es la ley de conservación de la masa de Lavoisier, que es la que obliga a ajustar la ecuación: en una reacción química los átomos no se crean ni se destruyen, solo se reordenan, así que de cada elemento tiene que haber los mismos a los dos lados de la flecha.
$\boxed{{\displaystyle \acute{\text{a}}\text{tomos de X}\text{\hspace{0.17em}⁣}:\text{reactivos}=\text{productos}}}$
La segunda es la masa molar, el puente entre los gramos que da la balanza y los mol con los que trabaja la estequiometría. Es lo que pesa un mol de sustancia y se obtiene sumando las masas atómicas de los átomos de su fórmula.
$\boxed{{\displaystyle n={\displaystyle \frac{m}{M}}}}$
La tercera es la ecuación de estado de los gases ideales, y aquí hace falta dos veces: para contar el cloro, del que solo se sabe el volumen, la presión y la temperatura, y para responder al apartado b), que pide justamente una presión.
$\boxed{{\displaystyle p\cdot V=n\cdot R\cdot T}}$
En ella $R$ es la constante de los gases, que en estas unidades vale $\mathrm{0,082}$ (atm · L)/(mol · K), la presión va en atmósferas, el volumen en litros, la cantidad de sustancia en mol y la temperatura siempre en kelvin.
La cuarta es la lectura en mol de la ecuación ajustada: cada coeficiente dice cuántos moles de su sustancia intervienen, y esa proporción se mantiene sea cual sea la cantidad que reaccione.
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\text{mol de A}}{\text{coeficiente de A}}}={\displaystyle \frac{\text{mol de B}}{\text{coeficiente de B}}}}}$
Y la quinta es el criterio del reactivo limitante, que es lo que se aplica cuando esa proporción no se cumple con lo que hay: se divide la cantidad de cada reactivo entre su coeficiente y manda el que dé el cociente más pequeño, porque es el que se acaba antes.
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{n_{\text{A}}}{\text{coeficiente de A}}}<{\displaystyle \frac{n_{\text{B}}}{\text{coeficiente de B}}}⟹\text{ A es el reactivo limitante}}}$
Con las cinco a mano, se empieza. El enunciado ya da las tres fórmulas: el fósforo blanco es ${\text{P}}_4$, una molécula de cuatro átomos; el cloro es diatómico, ${\text{Cl}}_2$; y el producto es el tricloruro de fósforo, ${\text{PCl}}_3$. Los dos primeros son los reactivos y van a la izquierda de la flecha; el tercero es el producto y va a la derecha.
${\text{P}}_4(g)+{\text{Cl}}_2(g)\to {\text{PCl}}_3(g)$
Se cuentan los átomos de cada elemento a los dos lados, con la ecuación tal y como está escrita:
$\text{Cl}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2\text{ frente a }3;\text{P}\text{\hspace{0.17em}⁣}:4\text{ frente a }1$
No cuadran el cloro ni el fósforo, así que hay que poner coeficientes delante de las fórmulas. Los subíndices no se tocan nunca: cambiarlos sería cambiar la sustancia. Se empieza por los elementos que aparecen en menos sitios y se dejan los que están en más sitios para el final.
El cloro solo está en ${\text{Cl}}_2(g)$ y ${\text{PCl}}_3(g)$, y para cuadrarlo bastaría con 3 ${\text{Cl}}_2(g)$ y 2 ${\text{PCl}}_3(g)$. Pero entonces habría que poner ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ delante de ${\text{P}}_4(g)$, y los coeficientes tienen que ser números enteros: se multiplica todo por 2 y se pone un 6 delante de ${\text{Cl}}_2(g)$ y un 4 delante de ${\text{PCl}}_3(g)$. Quedan $6\cdot 2=4\cdot 3$ átomos a cada lado.
El fósforo queda cuadrado con lo puesto hasta aquí. Quedan 4 átomos a cada lado.
La ecuación ajustada queda:
${\text{P}}_4(g)+\mathbf{6}{\text{Cl}}_2(g)\to \mathbf{4}{\text{PCl}}_3(g)$
Y el recuento ya cuadra:
$\text{Cl}\text{\hspace{0.17em}⁣}:6\cdot 2=4\cdot 3;\text{P}\text{\hspace{0.17em}⁣}:4=4$
El que manda en el ajuste es el cloro. Cada molécula de fósforo lleva 4 átomos de fósforo y cada uno de ellos se lleva 3 cloros, de modo que hacen falta 12 átomos de cloro; y como el cloro solo viene de dos en dos, eso son 6 moléculas de ${\text{Cl}}_2$ por cada molécula de ${\text{P}}_4$.
Con la ecuación ajustada delante se escribe debajo de cada sustancia lo que dicen los coeficientes y lo que da el enunciado, para ver de un vistazo por dónde hay que entrar:

	${\text{P}}_4(g)$	$6{\text{Cl}}_2(g)$	$4{\text{PCl}}_3(g)$ La ecuación, en mol	1 mol de fósforo	6 mol de cloro	4 mol de tricloruro de fósforo Datos del enunciado	20 g	15 L en cond. est.	15 L, 50 °C

La tabla enseña dónde está la dificultad: hay un dato en la columna de cada uno de los dos reactivos, y encima vienen en unidades que no se pueden comparar entre sí, gramos por un lado y litros de gas por otro. Antes de nada, los dos a mol.
El fósforo viene en gramos y el puente hasta los mol es su masa molar, que se obtiene sumando las masas atómicas de los cuatro átomos de la molécula:
$M\left({\text{P}}_4\right)=\mathrm{30,97}\cdot 4=\mathrm{123,88}\text{ g/mol}$
Cada $\mathrm{123,88}$ g de fósforo son un mol, así que el factor de conversión lleva los gramos abajo, que es la unidad que se va:
$20\cancel{{\text{g de P}}_4}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de P}}_4}{\mathrm{123,88}\cancel{{\text{g de P}}_4}}}=\mathrm{0,161}{\text{mol de P}}_4$
Del cloro no se da ni masa ni cantidad: se da el recipiente que lo contiene y las condiciones en que está. Es un gas, así que se cuenta con la ecuación de estado, y antes hay que poner los datos en las unidades que lleva la constante. La presión viene en pascales, y el enunciado da el cambio: una atmósfera son $\mathrm{1,013}\cdot {10}^5\text{ Pa}$. Como lo que se va son los pascales, van abajo:
$p=1\cdot {10}^5\cancel{\text{Pa}}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ atm}}{\mathrm{1,013}\cdot {10}^5\cancel{\text{Pa}}}}=\mathrm{0,987}\text{ atm}$
Conviene pararse en ese número: $\mathrm{0,987}$ atm no es 1 atm. Las condiciones estándar de este enunciado son 0 °C y ${10}^5\text{ Pa}$, y esa presión es un poco menor que la atmosférica; no hay que confundirlas con las condiciones normales, que sí son 0 °C y 1 atm.
La temperatura viene en grados Celsius y la ecuación de estado solo funciona en la escala absoluta, la de kelvin, que se obtiene sumando 273:
$T=0+273=273\text{ K}$
Ahora ya se puede despejar la cantidad de sustancia (la incógnita es $n$, así que $R$ y $T$ pasan al otro lado dividiendo) y sustituir:
$p\cdot V=n\cdot R\cdot T⟹n={\displaystyle \frac{p\cdot V}{R\cdot T}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,987}\text{ atm}\cdot 15\text{ L}}{\mathrm{0,082}\frac{\text{atm}\cdot \text{L}}{\text{K}\cdot \text{mol}}\cdot 273\text{ K}}}=\mathrm{0,661}{\text{mol de Cl}}_2$
Las unidades se van solas: las atmósferas de arriba con las de la constante, los litros con los litros y los kelvin con los kelvin, y lo único que queda en pie es el mol.
Ya están los dos reactivos en la misma moneda, $\mathrm{0,161}{\text{mol de P}}_4$ y $\mathrm{0,661}{\text{mol de Cl}}_2$, y se puede aplicar el criterio: cada cantidad entre su coeficiente.
${\displaystyle \frac{n\left({\text{P}}_4\right)}{1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,161}}{1}}=\mathrm{0,161}$
${\displaystyle \frac{n\left({\text{Cl}}_2\right)}{6}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,661}}{6}}=\mathrm{0,110}$
El cociente del cloro es el más pequeño, así que el reactivo limitante es el ${\text{Cl}}_2$. Hay más mol de cloro que de fósforo, pero eso no decide nada: la ecuación pide 6 de cloro por cada 1 de fósforo, y con esa proporción el cloro se queda corto.
Visto con factores de conversión, que es como se comprueba, se ve lo mismo por los dos lados. Para gastar todo el fósforo haría falta:
$\mathrm{0,161}\cancel{{\text{mol de P}}_4}\cdot {\displaystyle \frac{6{\text{mol de Cl}}_2}{1\cancel{{\text{mol de P}}_4}}}=\mathrm{0,966}{\text{mol de Cl}}_2$
Y solo hay $\mathrm{0,661}{\text{mol de Cl}}_2$, que no llegan. Al revés, para gastar todo el cloro haría falta:
$\mathrm{0,661}\cancel{{\text{mol de Cl}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de P}}_4}{6\cancel{{\text{mol de Cl}}_2}}}=\mathrm{0,110}{\text{mol de P}}_4$
Y hay $\mathrm{0,161}{\text{mol de P}}_4$, que es más. Las dos comparaciones dicen lo mismo: el cloro se agota y el fósforo sobra.
De hecho, se puede decir cuánto sobra. Del fósforo solo reaccionan $\mathrm{0,110}{\text{mol de P}}_4$, así que quedan sin atacar:
$\mathrm{0,161}-\mathrm{0,110}=\mathrm{0,051}{\text{mol de P}}_4$
$\mathrm{0,051}\cancel{{\text{mol de P}}_4}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{123,88}{\text{g de P}}_4}{1\cancel{{\text{mol de P}}_4}}}=\mathrm{6,32}{\text{g de P}}_4$
Es decir, más de seis de los veinte gramos de fósforo se quedan sin reaccionar. Para sacar más producto no haría falta más fósforo, sino más cloro.

$\mathbf{\text{a)}}$ La cantidad máxima de tricloruro de fósforo la fija el reactivo limitante, así que se calcula a partir de los $\mathrm{0,661}{\text{mol de Cl}}_2$ que hay, no de los $\mathrm{0,161}{\text{mol de P}}_4$. Merece la pena ver qué pasaría si se partiera del fósforo:
$\mathrm{0,161}\cancel{{\text{mol de P}}_4}\cdot {\displaystyle \frac{4{\text{mol de PCl}}_3}{1\cancel{{\text{mol de P}}_4}}}=\mathrm{0,644}{\text{mol de PCl}}_3$
Saldría más producto, pero es un resultado imposible: para formar esos $\mathrm{0,644}{\text{mol de PCl}}_3$ harían falta los $\mathrm{0,966}{\text{mol de Cl}}_2$ que no hay. La cuenta buena es la que sale del cloro.
La proporción la da la ecuación ajustada, cuyos coeficientes son 6 para el ${\text{Cl}}_2$ y 4 para el ${\text{PCl}}_3$.
${\displaystyle \frac{n\left({\text{PCl}}_3\right)}{n\left({\text{Cl}}_2\right)}}={\displaystyle \frac{4}{6}}$
El factor de conversión se escribe con el tricloruro arriba y el cloro abajo, que es la unidad que se va:
$\mathrm{0,661}\cancel{{\text{mol de Cl}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{4{\text{mol de PCl}}_3}{6\cancel{{\text{mol de Cl}}_2}}}=\mathrm{0,441}{\text{mol de PCl}}_3$
Ese es el «como máximo» del enunciado: con el cloro de que se dispone no se puede obtener más tricloruro de fósforo, por mucho fósforo que se eche al recipiente.
Para hacerse una idea de lo que es esa cantidad, basta pasarla a gramos con la masa molar del ${\text{PCl}}_3$:
$M\left({\text{PCl}}_3\right)=\mathrm{30,97}+\mathrm{35,45}\cdot 3=\mathrm{137,32}\text{ g/mol}$
$\mathrm{0,441}\cancel{{\text{mol de PCl}}_3}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{137,32}{\text{g de PCl}}_3}{1\cancel{{\text{mol de PCl}}_3}}}=\mathrm{60,56}{\text{g de PCl}}_3$
Poco más de sesenta gramos de tricloruro, formados con el fósforo que sí reacciona y con todo el cloro que había en el recipiente. La respuesta a lo que se preguntaba, la cantidad, sigue siendo $\mathrm{0,441}{\text{mol de PCl}}_3$.


$\mathbf{\text{b)}}$ El tricloruro de fósforo también es un gas, así que la presión que ejerce sale de la misma ecuación de estado, esta vez despejando $p$. Los datos son los $\mathrm{0,441}{\text{mol de PCl}}_3$ del apartado anterior, el volumen del recipiente, $15\text{ L}$, y la temperatura a la que se recoge, 50 °C.
La temperatura hay que pasarla otra vez a kelvin, porque es la única escala en la que vale la ecuación de estado:
$T=50+273=323\text{ K}$
Se despeja la presión (la incógnita es $p$, así que $V$ pasa al otro lado dividiendo) y se sustituye:
$p\cdot V=n\cdot R\cdot T⟹p={\displaystyle \frac{n\cdot R\cdot T}{V}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,441}\text{ mol}\cdot \mathrm{0,082}\frac{\text{atm}\cdot \text{L}}{\text{K}\cdot \text{mol}}\cdot (50+273)\text{ K}}{15\text{ L}}}=\mathrm{0,779}\text{ atm}$
Otra vez las unidades se van solas: los mol con los de la constante, los kelvin con los kelvin y los litros con los litros, y queda la atmósfera.
El resultado tiene buena pinta. En un recipiente del mismo volumen, $15\text{ L}$, el cloro de partida eran $\mathrm{0,661}{\text{mol de Cl}}_2$ y ejercía $\mathrm{0,987}\text{ atm}$; el tricloruro es menos gas, $\mathrm{0,441}{\text{mol de PCl}}_3$, aunque esté más caliente, y la presión que ejerce sale algo menor. La subida de temperatura no llega a compensar la pérdida de un tercio de las moléculas.