Ejercicio resuelto de Reacciones químicas · Física y Química I

El cadmio reacciona con el ácido nítrico dando nitrato de cadmio e hidrógeno. Se hacen reaccionar 8 g de cadmio con 60 mL de ${\text{HNO}}_3$ 1,5 M. ¿Qué volumen de hidrógeno, medido a 0 °C y 1 atm, se obtendrá como máximo? Dato: $R=\mathrm{0,082}(\text{atm}\cdot \text{L})\mathrm{/}(\text{mol}\cdot \text{K})$.

Este problema tiene una particularidad que conviene ver antes de nada: el enunciado da la cantidad de LOS DOS reactivos, el cadmio y el ácido. Cuando eso pasa, lo normal es que no estén en la proporción exacta que pide la reacción, así que uno de los dos se agota antes y, en cuanto se agota, la reacción se para aunque del otro quede de sobra. Por eso el enunciado pregunta cuánto hidrógeno se obtiene «como máximo». Hacen falta seis ideas para llegar hasta ahí, y conviene tenerlas delante antes de tocar ningún número.
La primera es la ley de conservación de la masa de Lavoisier, que es la que obliga a ajustar la ecuación: en una reacción química los átomos no se crean ni se destruyen, solo se reordenan, así que de cada elemento tiene que haber los mismos a un lado y al otro de la flecha.
$\boxed{{\displaystyle \acute{\text{a}}\text{tomos de X}\text{\hspace{0.17em}⁣}:\text{reactivos}=\text{productos}}}$
La segunda es la masa molar, el puente entre los gramos que da la balanza y los mol con los que trabaja la estequiometría. Es la masa de un mol de sustancia y se obtiene sumando las masas atómicas de los átomos de su fórmula.
$\boxed{{\displaystyle n={\displaystyle \frac{m}{M}}}}$
La tercera es la molaridad, que es lo que significa la «M» de «${\text{HNO}}_3$ 1,5 M»: los mol de soluto que hay disueltos en cada litro de disolución. Es un dato de concentración, no de cantidad, y por eso hay que multiplicarlo por el volumen para saber cuánto ácido hay de verdad.
$\boxed{{\displaystyle \text{molaridad}={\displaystyle \frac{\text{mol de soluto}}{\text{litros de disoluci}\acute{\text{o}}\text{n}}}}}$
La cuarta es la estequiometría. Los coeficientes de la ecuación ya ajustada dicen en qué proporción, contada en mol, intervienen las sustancias, y esa proporción se mantiene sea cual sea la cantidad que reaccione.
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\text{mol de A}}{\text{coeficiente de A}}}={\displaystyle \frac{\text{mol de B}}{\text{coeficiente de B}}}}}$
Y la quinta es el reactivo limitante, que es justo lo que pasa cuando esa proporción no se cumple con lo que hay: el que se queda corto manda sobre toda la reacción y del otro sobra. Para saber cuál es, se calcula cuánto haría falta de un reactivo para consumir entero el otro y se compara con lo que hay de verdad.
$\boxed{{\displaystyle n_{\text{A necesarios}}=n_{\text{B}}\cdot {\displaystyle \frac{\text{coeficiente de A}}{\text{coeficiente de B}}}}}$
Si hace falta más A del que hay, es A el que se agota primero y A es el reactivo limitante; si hace falta menos, sobra A y el limitante es B.
Y la sexta es la ecuación de estado de los gases ideales, que hace falta porque el enunciado no pide el hidrógeno en mol, sino en volumen, y el volumen de un gas depende de la presión y de la temperatura a las que se mida.
$\boxed{{\displaystyle p\cdot V=n\cdot R\cdot T}}$
Lo primero es escribir la reacción, que el enunciado cuenta con palabras. El cadmio es un metal, así que su fórmula es la del elemento, $\text{Cd}$. El ácido nítrico es ${\text{HNO}}_3$. Los dos son los reactivos y van a la izquierda de la flecha. El nitrato de cadmio es la sal que forman: el cadmio actúa con valencia 2, así que hacen falta dos iones nitrato, ${\text{NO}}_3^{-}$, para compensar su carga, y queda $\text{Cd}({\text{NO}}_3{)}_2$. El hidrógeno que se desprende es un gas diatómico, ${\text{H}}_2$. Los dos son productos y van a la derecha.
$\text{Cd}+{\text{HNO}}_3\to \text{Cd}({\text{NO}}_3{)}_2+{\text{H}}_2$
Se cuentan los átomos de cada elemento a los dos lados, con la ecuación tal y como está escrita:
$\text{Cd}\text{\hspace{0.17em}⁣}:1=1;\text{N}\text{\hspace{0.17em}⁣}:1\text{ frente a }2;\text{H}\text{\hspace{0.17em}⁣}:1\text{ frente a }2;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:3\text{ frente a }6$
No cuadran el nitrógeno ni el hidrógeno ni el oxígeno, así que hay que poner coeficientes delante de las fórmulas. Los subíndices no se tocan nunca: cambiarlos sería cambiar la sustancia. Se empieza por los elementos que aparecen en menos sitios y se dejan el hidrógeno y el oxígeno para el final.
El cadmio ya está cuadrado de partida. Queda 1 átomo a cada lado.
El nitrógeno solo está en ${\text{HNO}}_3$ y $\text{Cd}({\text{NO}}_3{)}_2$: se pone un 2 delante de ${\text{HNO}}_3$. Quedan 2 átomos a cada lado.
El hidrógeno queda cuadrado con lo puesto hasta aquí. Quedan 2 átomos a cada lado.
El oxígeno queda cuadrado con lo puesto hasta aquí. Quedan $2\cdot 3=6$ átomos a cada lado.
La ecuación ajustada queda:
$\text{Cd}+\mathbf{2}{\text{HNO}}_3\to \text{Cd}({\text{NO}}_3{)}_2+{\text{H}}_2$
Y el recuento ya cuadra:
$\text{Cd}\text{\hspace{0.17em}⁣}:1=1;\text{N}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2=2;\text{H}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2=2;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2\cdot 3=6$
Con la ecuación ajustada delante se ordena lo que se sabe, escribiendo debajo de cada sustancia lo que dice la ecuación y lo que da el enunciado:

	$\text{Cd}$	$2{\text{HNO}}_3$	$\text{Cd}({\text{NO}}_3{)}_2$	${\text{H}}_2$ La ecuación, en mol	1 mol de cadmio	2 mol de ácido nítrico	1 mol de nitrato de cadmio	1 mol de hidrógeno Datos del enunciado	8 g	60 mL, 1,5 M		0 °C y 1 atm Se pide				su volumen

La tabla enseña de un vistazo dónde está la dificultad: hay un dato en la columna de cada uno de los dos reactivos, y la ecuación dice que tienen que gastarse en la proporción de 1 a 2. Antes de poder usar esa proporción hay que traducir los dos datos a mol, porque en gramos, en mililitros o en molaridad no se pueden comparar.
El cadmio viene en gramos y el puente hasta los mol es su masa molar. Como el cadmio es un elemento, esa masa molar es directamente su masa atómica:
$M\left(\text{Cd}\right)=\mathrm{112,4}\text{ g/mol}$
Cada 112,4 g de cadmio son un mol, así que el factor de conversión lleva los gramos abajo, que es la unidad que se va:
$8\cancel{\text{g de Cd}}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ mol de Cd}}{\mathrm{112,4}\cancel{\text{g de Cd}}}}=\mathrm{7,12}\cdot {10}^{-2}\text{ mol de Cd}$
El ácido viene como un volumen de disolución y una concentración. Son dos pasos encadenados: primero los mililitros se pasan a litros, porque la molaridad está referida al litro, y después cada litro de disolución se cambia por los 1,5 mol de ácido que lleva disueltos.
$60\cancel{{\text{mL de disoluci}\acute{\text{o}}\text{n HNO}}_3}\cdot {\displaystyle \frac{1\cancel{{\text{L de disoluci}\acute{\text{o}}\text{n HNO}}_3}}{1000\cancel{{\text{mL de disoluci}\acute{\text{o}}\text{n HNO}}_3}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}{\text{mol de HNO}}_3}{1\cancel{{\text{L de disoluci}\acute{\text{o}}\text{n HNO}}_3}}}=9\cdot {10}^{-2}{\text{mol de HNO}}_3$
Ya están los dos reactivos en la misma moneda: $\mathrm{7,12}\cdot {10}^{-2}\text{ mol de Cd}$ y $9\cdot {10}^{-2}{\text{mol de HNO}}_3$.
Ahora se decide cuál de los dos se acaba antes. Hay más mol de ácido que de cadmio, pero eso no basta para responder: la ecuación ajustada dice que por cada mol de cadmio se gastan 2 de ácido, así que el ácido necesita ir por delante. Lo que hay que comparar es lo que hay con lo que haría falta.
Se mira cuánto cadmio haría falta para consumir todo el ácido: se parte de los mol de ácido que hay y se multiplica por la proporción que fija la ecuación ajustada, 1 mol de cadmio por cada 2 de ácido.
$9\cdot {10}^{-2}\cancel{{\text{mol de HNO}}_3}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ mol de Cd}}{2\cancel{{\text{mol de HNO}}_3}}}=\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-2}\text{ mol de Cd}$
Harían falta $\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-2}\text{ mol de Cd}$ y hay $\mathrm{7,12}\cdot {10}^{-2}\text{ mol de Cd}$, que es más. Es decir, el cadmio da de sobra para todo el ácido: el que se agota es el ácido.
Mirado desde el otro lado se ve lo mismo. Para gastar todo el cadmio harían falta:
$\mathrm{7,12}\cdot {10}^{-2}\cancel{\text{mol de Cd}}\cdot {\displaystyle \frac{2{\text{mol de HNO}}_3}{1\cancel{\text{mol de Cd}}}}=\mathrm{1,424}\cdot {10}^{-1}{\text{mol de HNO}}_3$
Y solo hay $9\cdot {10}^{-2}{\text{mol de HNO}}_3$, que no llegan. Las dos comparaciones dicen lo mismo, así que el reactivo limitante es el ${\text{HNO}}_3$ y el $\text{Cd}$ está en exceso.
A partir de aquí manda el ácido, y el cadmio que sobra no pinta nada: se quedará sin reaccionar en el fondo del vaso. El hidrógeno que se forma se calcula, por tanto, de los $9\cdot {10}^{-2}{\text{mol de HNO}}_3$, y no del cadmio. La ecuación ajustada dice que de cada 2 mol de ácido sale 1 mol de hidrógeno:
${\displaystyle \frac{n\left({\text{H}}_2\right)}{n\left({\text{HNO}}_3\right)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$9\cdot {10}^{-2}\cancel{{\text{mol de HNO}}_3}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de H}}_2}{2\cancel{{\text{mol de HNO}}_3}}}=\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-2}{\text{mol de H}}_2$
Ese es el «como máximo» del enunciado: con el ácido de que se dispone no se puede sacar más hidrógeno, por mucho cadmio que se eche al vaso.
Falta pasar esos mol a volumen, que es lo que se pregunta. Como el hidrógeno es un gas, el volumen que ocupa depende de la presión y de la temperatura a las que se mida, y por eso el enunciado las da: 0 °C y 1 atm. La relación entre las cuatro magnitudes es la ecuación de estado de los gases ideales.
Antes de sustituir hay que mirar las unidades, porque la ecuación solo funciona si cada dato viene en la unidad que lleva la constante $R=\mathrm{0,082}(\text{atm}\cdot \text{L})\mathrm{/}(\text{mol}\cdot \text{K})$: la presión en atmósferas, el volumen en litros y la temperatura en kelvin. La presión ya está en atmósferas; la temperatura, en cambio, viene en grados Celsius y hay que pasarla a la escala absoluta, que se obtiene sumándole 273:
$T=0+273=273\text{ K}$
Se despeja el volumen de la ecuación de estado (la incógnita es $V$, así que $p$ pasa al otro lado dividiendo) y se sustituye:
$p\cdot V=n\cdot R\cdot T⟹V={\displaystyle \frac{n\cdot R\cdot T}{p}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-2}\text{ mol}\cdot \mathrm{0,082}\frac{\text{atm}\cdot \text{L}}{\text{K}\cdot \text{mol}}\cdot 273\text{ K}}{1\text{ atm}}}=\mathrm{1,0074}\text{ L de }{\text{H}}_2$
Las unidades se van solas: las atmósferas de arriba con las de abajo, los kelvin con los de la constante y los mol con los del hidrógeno, y lo único que queda en pie es el litro. Los datos que fijan el resultado, los 60 mL de disolución y su concentración 1,5 M, traen dos cifras significativas, así que el resultado se da como $\mathrm{1,0}{\text{L de H}}_2$.
Merece la pena comprobarlo por otro camino. 0 °C y 1 atm son justamente las condiciones normales, y en ellas un mol de cualquier gas ocupa 22,4 L, que es lo que vale ${\displaystyle \frac{R\cdot T}{p}}$ con esos valores. Aplicado al hidrógeno que se ha obtenido:
$\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-2}\cancel{{\text{mol de H}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{22,4}{\text{L de H}}_2}{1\cancel{{\text{mol de H}}_2}}}=\mathrm{1,008}{\text{L de H}}_2$
Sale lo mismo: la diferencia con los $\mathrm{1,0074}\text{ L}$ de antes está en la tercera cifra decimal y viene solo de que 22,4 L es el volumen molar ya redondeado.
Y una última lectura del resultado: de los $\mathrm{7,12}\cdot {10}^{-2}\text{ mol de Cd}$ que se echaron solo reaccionan $\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-2}\text{ mol de Cd}$, así que quedan sin atacar:
$\mathrm{7,12}\cdot {10}^{-2}-\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-2}=\mathrm{2,62}\cdot {10}^{-2}\text{ mol de Cd}$
Que, pasados a gramos con la misma masa molar de antes, son:
$\mathrm{2,62}\cdot {10}^{-2}\cancel{\text{mol de Cd}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{112,4}\text{ g de Cd}}{1\cancel{\text{mol de Cd}}}}=\mathrm{2,94}\text{ g de Cd}$
Ese cadmio se queda en el fondo del vaso sin atacar, y no porque falte tiempo, sino porque ya no queda ácido con el que reaccionar. Para sacar más hidrógeno no haría falta más cadmio, sino más ácido.
Y un aviso que no cambia ninguna de las cuentas, pero que conviene no callar: la reacción del enunciado, tal y como está escrita, no es la que ocurre de verdad en el laboratorio. El ácido nítrico no se comporta como un ácido corriente, sino como un ácido oxidante, y con los metales no desprende hidrógeno, sino óxidos de nitrógeno, $\text{NO}$ o ${\text{NO}}_2$ según lo concentrado que esté. El ejercicio se resuelve con la ecuación que da el enunciado, porque es la que se pide y como ecuación está bien ajustada, y todo lo que enseña sigue siendo válido: el reactivo limitante y el paso de mol a volumen de gas se hacen igual sea cual sea la reacción. Pero ese hidrógeno no saldría del vaso.