Ejercicio resuelto de Reacciones químicas · Física y Química I

El óxido de hierro(III) es un compuesto que se utiliza, entre otras cosas, para fabricar cintas de grabación magnética. Para determinar su riqueza en una muestra se le hace reaccionar con hidrógeno gaseoso, y como resultado se obtiene hierro y agua.

a) Determina el porcentaje en óxido de hierro(III) si 100 g de muestra consumen 33,6 L de ${\text{H}}_2$, medidos a 0 °C y 1 atm.
b) ¿Qué cantidad de hierro se depositará en el proceso?
Dato: R = 0,082 (atm · L)/(mol · K).

Es un problema de estequiometría completo: hay que averiguar cuánto óxido de hierro(III) puro contiene una muestra a partir del hidrógeno que consume al reaccionar. Se apoya en cinco herramientas, y conviene tenerlas delante antes de empezar.
La primera es la ecuación química ajustada, porque es ella la que fija en qué proporción reaccionan las sustancias. Ajustarla es aplicar la ley de conservación de la masa de Lavoisier: en una reacción los átomos no se crean ni se destruyen, solo se reordenan, así que de cada elemento tiene que haber los mismos a los dos lados de la flecha:
$\boxed{{\displaystyle \acute{\text{a}}\text{tomos de X}\text{\hspace{0.17em}⁣}:\text{reactivos}=\text{productos}}}$
La segunda es la lectura en mol de esa ecuación: cada coeficiente dice cuántos moles de su sustancia intervienen, y el cociente de dos coeficientes es el factor que convierte los moles de una en los de la otra:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{n_{\text{A}}}{n_{\text{B}}}}={\displaystyle \frac{\text{coeficiente de A}}{\text{coeficiente de B}}}}}$
La tercera es la ecuación de estado de los gases ideales, porque del hidrógeno no se da una masa sino un volumen medido a cierta presión y cierta temperatura:
$\boxed{{\displaystyle p\cdot V=n\cdot R\cdot T}}$
La cuarta es la masa molar, el puente entre la masa de una sustancia y su cantidad en mol:
$\boxed{{\displaystyle n={\displaystyle \frac{m}{M}}}}$
Y la quinta, solo para el apartado a), la riqueza: el tanto por ciento en masa de sustancia pura que contiene la muestra:
$\boxed{{\displaystyle \text{riqueza}={\displaystyle \frac{m_{\text{pura}}}{m_{\text{muestra}}}}\cdot 100}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Lo primero es traducir el enunciado a una ecuación química. El óxido de hierro(III) es ${\text{Fe}}_2{\text{O}}_3$, el hidrógeno gaseoso es ${\text{H}}_2$, y de la reacción salen hierro y agua:
${\text{Fe}}_2{\text{O}}_3+{\text{H}}_2\to \text{Fe}+{\text{H}}_2\text{O}$
Se cuentan los átomos de cada elemento a los dos lados, con la ecuación tal y como está escrita:
$\text{Fe}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2\text{ frente a }1;\text{H}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2=2;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:3\text{ frente a }1$
No cuadran el hierro ni el oxígeno, así que hay que poner coeficientes delante de las fórmulas. Los subíndices no se tocan nunca: cambiarlos sería cambiar la sustancia. Se empieza por los elementos que aparecen en menos sitios y se dejan el hidrógeno y el oxígeno para el final.
El hierro solo está en ${\text{Fe}}_2{\text{O}}_3$ y $\text{Fe}$: se pone un 2 delante de $\text{Fe}$. Quedan 2 átomos a cada lado.
El hidrógeno solo está en ${\text{H}}_2$ y ${\text{H}}_2\text{O}$: se pone un 3 delante de ${\text{H}}_2$ y un 3 delante de ${\text{H}}_2\text{O}$. Quedan $3\cdot 2=6$ átomos a cada lado.
El oxígeno queda cuadrado con lo puesto hasta aquí. Quedan 3 átomos a cada lado.
La ecuación ajustada queda:
${\text{Fe}}_2{\text{O}}_3+\mathbf{3}{\text{H}}_2\to \mathbf{2}\text{Fe}+\mathbf{3}{\text{H}}_2\text{O}$
Y el recuento ya cuadra:
$\text{Fe}\text{\hspace{0.17em}⁣}:2=2;\text{H}\text{\hspace{0.17em}⁣}:3\cdot 2=3\cdot 2;\text{O}\text{\hspace{0.17em}⁣}:3=3$
El 3 del hidrógeno lo manda, en el fondo, el oxígeno: los 3 átomos de oxígeno que trae cada ${\text{Fe}}_2{\text{O}}_3$ solo pueden salir en forma de agua, y como cada ${\text{H}}_2\text{O}$ se lleva 1 de ellos, hacen falta 3 ${\text{H}}_2\text{O}$. Esas 3 moléculas de agua arrastran $3\cdot 2=6$ átomos de hidrógeno, y como cada ${\text{H}}_2$ aporta 2, hacen falta 3 ${\text{H}}_2$.
Con la ecuación ajustada se escriben debajo de cada sustancia los datos que se conocen, que es la forma de ver de un vistazo lo que hay y lo que falta:

	${\text{Fe}}_2{\text{O}}_3$	$3{\text{H}}_2$	$2\text{Fe}$	$3{\text{H}}_2\text{O}$ La ecuación, en mol	1 mol de óxido de hierro(III)	3 mol de hidrógeno	2 mol de hierro	3 mol de agua Datos del enunciado	100 g de muestra	33,6 L a 0 °C y 1 atm

La cantidad de hidrógeno no viene en mol sino como un volumen de gas, así que hay que pasarla con la ecuación de estado de los gases ideales. Se despeja la cantidad de sustancia y se sustituye, con la temperatura en kelvin (0 °C son 273 K):
$p\cdot V=n\cdot R\cdot T⟹n={\displaystyle \frac{p\cdot V}{R\cdot T}}={\displaystyle \frac{1\text{ atm}\cdot \mathrm{33,6}\text{ L}}{\mathrm{0,082}\frac{\text{atm}\cdot \text{L}}{\text{K}\cdot \text{mol}}\cdot (0+273)\text{ K}}}=\mathrm{1,5}\text{ mol de }{\text{H}}_2$
Ahora ya se puede usar la proporción que fija la ecuación ajustada: por cada 3 mol de hidrógeno que se consumen reacciona 1 mol de óxido de hierro(III). El factor de conversión se escribe con el hidrógeno abajo, que es la unidad que se va:
$\mathrm{1,5}\cancel{{\text{mol de H}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{1{\text{mol de Fe}}_2{\text{O}}_3}{3\cancel{{\text{mol de H}}_2}}}=\mathrm{0,5}{\text{mol de Fe}}_2{\text{O}}_3$
Esos 0,5 mol son de óxido de hierro(III) PURO, el que había dentro de la muestra. Para saber cuánto pesa hace falta la masa molar, que se obtiene sumando las masas atómicas de todos los átomos de la fórmula:
$M\left({\text{Fe}}_2{\text{O}}_3\right)=\mathrm{55,85}\cdot 2+\mathrm{16,00}\cdot 3=\mathrm{159,7}\text{ g/mol}$
Y con ella los moles de óxido puro pasan a gramos de óxido puro:
$\mathrm{0,5}\cancel{{\text{mol de Fe}}_2{\text{O}}_3}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{159,7}{\text{g de Fe}}_2{\text{O}}_3}{1\cancel{{\text{mol de Fe}}_2{\text{O}}_3}}}=\mathrm{79,85}{\text{g de Fe}}_2{\text{O}}_3$
Ya se puede comparar: la riqueza mide qué parte de la masa de la muestra es sustancia pura, y aquí la muestra pesaba justo 100 g:
${\displaystyle \frac{m_{\text{pura}}}{m_{\text{muestra}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{79,85}\text{ g de }{\text{Fe}}_2{\text{O}}_3}{100\text{ g de muestra}}}=\mathrm{0,7985}$
Multiplicando por cien esa fracción se convierte en tanto por ciento:
$\text{riqueza}=\mathrm{0,7985}\cdot 100=\mathrm{79,85}\mathrm{\%}$
El dato del que sale todo, el volumen de hidrógeno, trae tres cifras significativas (33,6 L), así que el resultado se da con tres:
$\mathrm{79,85}\mathrm{\%}\approx \mathrm{79,9}\mathrm{\%}$
Sale menos del 100 %, que es lo que tenía que salir: la muestra no es óxido puro, y esos 20,15 g que faltan en cada 100 g son las impurezas.


$\mathbf{\text{b)}}$ El hierro se calcula igual que el óxido y desde el mismo punto de partida: los $\mathrm{1,5}\text{ mol de }{\text{H}}_2$ que consume la muestra, los que salieron en el apartado a) de la ecuación de los gases ideales. Lo único que cambia es la pareja de coeficientes de la ecuación ajustada que se usa:
${\text{Fe}}_2{\text{O}}_3+\mathbf{3}{\text{H}}_2\to \mathbf{2}\text{Fe}+\mathbf{3}{\text{H}}_2\text{O}$
Por cada 3 mol de hidrógeno que reaccionan se depositan 2 mol de hierro, así que el factor de conversión lleva otra vez el hidrógeno abajo, que es la unidad que se va:
$\mathrm{1,5}\cancel{{\text{mol de H}}_2}\cdot {\displaystyle \frac{2\text{ mol de Fe}}{3\cancel{{\text{mol de H}}_2}}}=1\text{ mol de Fe}$
Falta pasar ese mol de hierro a gramos, y el puente vuelve a ser la masa molar. El hierro es un elemento, así que su masa molar es directamente su masa atómica:
$M\left(\text{Fe}\right)=\mathrm{55,85}\text{ g/mol}$
$1\cancel{\text{mol de Fe}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{55,85}\text{ g de Fe}}{1\cancel{\text{mol de Fe}}}}=\mathrm{55,85}\text{ g de Fe}$
Se depositan, por tanto, 55,85 g de hierro. El número encaja con el apartado anterior: los 79,85 g de óxido que había en la muestra son justo esos 55,85 g de hierro más 24 g de oxígeno, que es el que se marcha con el agua.