Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Pregunta 1.2. Sean la matriz $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden $3$. Se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular el polinomio $P(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ y hallar las raíces reales del polinomio.

b) (1,25 puntos) Para $\lambda = 5$, calcular un vector no nulo $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ que satisfaga que $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$.

$\textbf{a) (1,25 puntos) Calcular el polinomio } \boldsymbol{P(\lambda)=\det(A-\lambda I)}\textbf{ y hallar las raíces reales del polinomio.}$

Restar $\lambda I$ equivale a restar $\lambda$ a cada elemento de la diagonal principal. La tercera columna queda con dos ceros, así que desarrollamos el determinante por ella.

$A-\lambda I=\begin{pmatrix}4-\lambda & 1 & 0\\ 2 & 3-\lambda & 0\\ 3 & 2 & 2-\lambda\end{pmatrix}$

$P(\lambda)=(2-\lambda)\begin{vmatrix}4-\lambda & 1\\ 2 & 3-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)\left[(4-\lambda)(3-\lambda)-2\right]$

$P(\lambda)=(2-\lambda)\left(\lambda^2-7\lambda+10\right)=-\lambda^3+9\lambda^2-24\lambda+20$

Las raíces salen de anular cada factor. El trinomio se resuelve con la fórmula habitual.

$\lambda^2-7\lambda+10=0 \Rightarrow \lambda=\dfrac{7\pm\sqrt{9}}{2} \Rightarrow \lambda=2,\quad \lambda=5$

$P(\lambda)=-(\lambda-2)^2(\lambda-5)$

El polinomio tiene dos raíces reales: $\lambda=2$, que es doble, y $\lambda=5$, que es simple.

$\textbf{b) (1,25 puntos) Para } \boldsymbol{\lambda=5}\textbf{, calcular un vector no nulo } \boldsymbol{\vec v}\textbf{ que satisfaga que } \boldsymbol{(A-\lambda I)\vec v=\vec 0}\textbf{.}$

Como $\lambda=5$ anula el polinomio característico, el determinante de $A-5I$ es cero y el sistema homogéneo es compatible indeterminado: tiene soluciones distintas de la trivial, que es justo lo que se pide.

$A-5I=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0\\ 2 & -2 & 0\\ 3 & 2 & -3\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases}-x+y=0\\ 2x-2y=0\\ 3x+2y-3z=0\end{cases}$

La segunda ecuación es la primera multiplicada por $-2$, de modo que solo hay dos ecuaciones independientes y queda un grado de libertad.

$y=x,\qquad 3x+2x-3z=0 \Rightarrow z=\dfrac{5x}{3}$

$(x,y,z)=\left(t,\,t,\,\tfrac{5}{3}t\right),\quad t\in\mathbb{R}$

Tomamos $t=3$ para evitar fracciones.

$\vec v=(3,3,5)$

Cualquier múltiplo no nulo de $(3,3,5)$ es también válido; se comprueba que $(A-5I)\vec v=\vec 0$.