Ejercicio resuelto de Sistemas lineales · Matemáticas I

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x+4}{5}}-y=-1\\ {\displaystyle \frac{x-6}{5}}+y=-1\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{y+1}{5}}=1\\ x+3y=1\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{y-4}{3}}=1\\ y-{\displaystyle \frac{x+4}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x-1}{4}}-{\displaystyle \frac{y+2}{3}}=0\\ {\displaystyle \frac{x+3}{5}}-{\displaystyle \frac{y-2}{4}}=2\end{array}$

e) $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{7x+5y}{10}}-{\displaystyle \frac{3(x+y)}{5}}={\displaystyle \frac{x-y}{10}}\\ {\displaystyle \frac{3x+y+2}{4}}-{\displaystyle \frac{y-2x}{6}}={\displaystyle \frac{y-x}{4}}\end{array}$

Se quitan primero los denominadores y los paréntesis para obtener un sistema equivalente con coeficientes enteros, y después se resuelve (por reducción).

a) Quitamos denominadores y paréntesis; el sistema equivale a $\{\begin{array}{l}x-5y=-9\\ x+5y=1\end{array}$. Resolviéndolo por reducción: Restamos las ecuaciones para eliminar $x$ y obtenemos $-10y=-10$, de donde $y=1$. Sustituyendo, $x=-4$.

b) Quitamos denominadores y paréntesis; el sistema equivale a $\{\begin{array}{l}5x+4y=16\\ x+3y=1\end{array}$. Resolviéndolo por reducción: Multiplicamos la primera por $1$ y la segunda por $5$. Restamos las ecuaciones para eliminar $x$ y obtenemos $-11y=11$, de donde $y=-1$. Sustituyendo, $x=4$.

c) Quitamos denominadores y paréntesis; el sistema equivale a $\{\begin{array}{l}3x-y=-1\\ x-3y=-3\end{array}$. Resolviéndolo por reducción: Multiplicamos la primera por $3$ y la segunda por $1$. Restamos las ecuaciones para eliminar $y$ y obtenemos $8x=0$, de donde $x=0$. Sustituyendo, $y=1$.

d) Quitamos denominadores y paréntesis; el sistema equivale a $\{\begin{array}{l}3x-4y=11\\ 4x-5y=18\end{array}$. Resolviéndolo por reducción: Multiplicamos la primera por $4$ y la segunda por $3$. Restamos las ecuaciones para eliminar $x$ y obtenemos $-y=-10$, de donde $y=10$. Sustituyendo, $x=17$.

e) Quitamos denominadores y paréntesis; el sistema equivale a $\{\begin{array}{l}0=0\\ 8x-y=-3\end{array}$. Resolviéndolo por reducción: Las dos ecuaciones son proporcionales (representan la misma recta): el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.