Ejercicio resuelto de Sistemas lineales · Matemáticas I

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a) $\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ x-3y=-1\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}x+2y=-3\\ x+3y=0\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}3x-y=0\\ 5x-2y=-1\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x+y=5\end{array}$

e) $\{\begin{array}{l}2x+3y=6\\ 2x+3y=3\end{array}$

f) $\{\begin{array}{l}2x+3y=12\\ 3x-2y=5\end{array}$

El método gráfico consiste en representar cada ecuación como una recta y hallar su punto de corte: si las rectas se cortan en un punto, el sistema es compatible determinado (una solución); si son paralelas, es incompatible (sin solución); si coinciden, es compatible indeterminado (infinitas soluciones).

a) Escribimos cada ecuación en la forma $y=mx+n$: $y=-2x+5$ y $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}$. Al representarlas, las rectas se cortan en el punto $(2,1)$, que es la solución del sistema.



b) Escribimos cada ecuación en la forma $y=mx+n$: $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ y $y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x$. Al representarlas, las rectas se cortan en el punto $(-9,3)$, que es la solución del sistema.



c) Escribimos cada ecuación en la forma $y=mx+n$: $y=3x$ y $y={\displaystyle \frac{5}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Al representarlas, las rectas se cortan en el punto $(1,3)$, que es la solución del sistema.



d) Escribimos cada ecuación en la forma $y=mx+n$: $y=-x+5$ y $y=-x+5$. Las dos ecuaciones representan la misma recta, así que tienen infinitos puntos en común: el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones).



e) Escribimos cada ecuación en la forma $y=mx+n$: $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$ y $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1$. Las dos rectas tienen la misma pendiente pero distinta ordenada en el origen, así que son paralelas y no se cortan: el sistema es incompatible (no tiene solución).



f) Escribimos cada ecuación en la forma $y=mx+n$: $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+4$ y $y={\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{5}{2}}$. Al representarlas, las rectas se cortan en el punto $(3,2)$, que es la solución del sistema.