Ejercicio resuelto de Ángulo de dos rectas · Matemáticas I

Calcular el ángulo que forman los siguientes pares de rectas, utilizando la fórmula más conveniente en cada caso:

a) $2x-3y+4=0$ y $5x-2y-3=0$.
b) $2x+3y-5=0$ y $x-y+7=0$.
c) $x-2y+4=0$ y $3x-y-1=0$.
d) $y=2x-3$ y $y=-2x+1$.
e) $y=3x-5$ y $y=3x+2$.
f) $-x+2y+1=0$ y $3x+y+5=0$.
g) $y+2={\displaystyle \frac{4}{3}}(x-1)$ y $y-3={\displaystyle \frac{5}{12}}x$.
h) $-x+2y+5=0$ y $2x-3y+4=0$.
i) $3x-4y+2=0$ y $3x-4y+7=0$.
j) ${\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}$ y $-2x+3y-5=0$.
k) ${\displaystyle \frac{x+2}{3}}={\displaystyle \frac{y-1}{4}}$ y $3x+4y=0$.
l) $y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+3$ y $y={\displaystyle \frac{5}{12}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$.
m) $\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=5-2t\end{array}$ y $\{\begin{array}{l}x=-3+4\lambda \\ y=-1+3\lambda \end{array}$.
n) $y=7x+54$ y $3x-4y+128=0$.

El ángulo $\theta$ que forman dos rectas de pendientes $m_1$ y $m_2$ cumple $\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}}\mid$. Si las pendientes son iguales el ángulo es $0^{\circ }$ y si $m_1{m}_2=-1$ es ${90}^{\circ }$.

a) $m_1=\frac{2}{3},m_2=\frac{5}{2}:\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{\frac{2}{3}-\frac{5}{2}}{1+\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{2}}}\mid ={\displaystyle \frac{11}{16}}\Rightarrow \theta \approx {34}^{\circ }{31}^{\mathrm{\prime }}$.

b) $m_1=-\frac{2}{3},m_2=1:\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{-\frac{2}{3}-1}{1-\frac{2}{3}}}\mid =5\Rightarrow \theta \approx {78}^{\circ }{41}^{\mathrm{\prime }}$.

c) $m_1=\frac{1}{2},m_2=3:\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{\frac{1}{2}-3}{1+\frac{3}{2}}}\mid =1\Rightarrow \theta ={45}^{\circ }$.

d) $m_1=2,m_2=-2:\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{2-(-2)}{1+2(-2)}}\mid ={\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow \theta \approx {53}^{\circ }{8}^{\mathrm{\prime }}$.

e) Iguales pendientes $(m=3)$: rectas paralelas, $\theta =0^{\circ }$.

f) $m_1=\frac{1}{2},m_2=-3:\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{\frac{1}{2}+3}{1-\frac{3}{2}}}\mid =7\Rightarrow \theta \approx {81}^{\circ }{52}^{\mathrm{\prime }}$.

g) $m_1=\frac{4}{3},m_2=\frac{5}{12}:\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{\frac{4}{3}-\frac{5}{12}}{1+\frac{4}{3}\cdot \frac{5}{12}}}\mid ={\displaystyle \frac{33}{56}}\Rightarrow \theta \approx {30}^{\circ }{31}^{\mathrm{\prime }}$.

h) $m_1=\frac{1}{2},m_2=\frac{2}{3}:\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{8}}\Rightarrow \theta \approx 7^{\circ }{8}^{\mathrm{\prime }}$.

i) Iguales pendientes $(m=\frac{3}{4})$: rectas paralelas, $\theta =0^{\circ }$.

j) $m_1=\frac{3}{2},m_2=\frac{2}{3}:\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{\frac{3}{2}-\frac{2}{3}}{1+\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}}}\mid ={\displaystyle \frac{5}{12}}\Rightarrow \theta \approx {22}^{\circ }{37}^{\mathrm{\prime }}$.

k) $m_1=\frac{4}{3},m_2=-\frac{3}{4}$: como $m_1{m}_2=-1$, son perpendiculares, $\theta ={90}^{\circ }$.

l) $m_1=-\frac{3}{4},m_2=\frac{5}{12}:\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{-\frac{3}{4}-\frac{5}{12}}{1-\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{12}}}\mid \approx \mathrm{1,70}\Rightarrow \theta \approx {59}^{\circ }{29}^{\mathrm{\prime }}$.

m) Vectores directores $(1,-2)$ y $(4,3)$, es decir $m_1=-2,m_2=\frac{3}{4}:\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{-2-\frac{3}{4}}{1-2\cdot \frac{3}{4}}}\mid ={\displaystyle \frac{11}{2}}\Rightarrow \theta \approx {79}^{\circ }{42}^{\mathrm{\prime }}$.

n) $m_1=7,m_2=\frac{3}{4}:\mathrm{tg}\theta =\mid {\displaystyle \frac{7-\frac{3}{4}}{1+7\cdot \frac{3}{4}}}\mid =1\Rightarrow \theta ={45}^{\circ }$.