Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas I

Calcula la derivada de la siguiente función:

$y={\displaystyle \frac{2}{e^{3x}}}$

Escribimos la función como una potencia de base $e$ para derivar de forma directa, y comprobamos con la regla del cociente.

$\mathbf{\text{V}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{(como}}\mathbf{\text{potencia)}}$

Como $y={\displaystyle \frac{2}{e^{3x}}}=2e^{-3x}$, aplicamos la regla de la cadena sobre $e^u$ con $u=-3x$ (por tanto $u^{\mathrm{\prime }}=-3$):

$y^{\mathrm{\prime }}=2\cdot e^{-3x}\cdot (-3)=-6e^{-3x}={\displaystyle \frac{-6}{e^{3x}}}$

$\mathbf{\text{V}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{(regla}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cociente)}}$

Tomamos $p=2$ (con $p^{\mathrm{\prime }}=0$) y $q=e^{3x}$ (con $q^{\mathrm{\prime }}=3e^{3x}$), y usamos ${\left({\displaystyle \frac{p}{q}}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{p^{\mathrm{\prime }}q-p{q}^{\mathrm{\prime }}}{q^2}}$:

$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{0\cdot e^{3x}-2\cdot 3e^{3x}}{(e^{3x}{)}^2}}={\displaystyle \frac{-6e^{3x}}{(e^{3x}{)}^2}}={\displaystyle \frac{-6e^{3x}}{e^{6x}}}={\displaystyle \frac{-6}{e^{3x}}}$

Ambas vías coinciden:

$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{-6}{e^{3x}}}=-6e^{-3x}$