Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas I

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) $f(x)=x^3+x^{-7}$

b) $f(x)=2x^4-{\displaystyle \frac{7}{x^3}}$

c) $f(x)=\sqrt{10}+3x$

d) $f(x)=5x^5-3\sqrt[4]{x}+2\sqrt[3]{x^2}$

e) $f(x)=4x^2+x+1$

f) $f(x)=2\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{3}{x}}+4$

Usamos la regla de la potencia $(x^n{)}^{\mathrm{\prime }}=n\cdot x^{n-1}$, que la constante multiplica a la derivada y que la derivada de una constante es $0$. Derivamos término a término.

$\mathbf{\text{a)}}$ $f(x)=x^3+x^{-7}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+(-7)x^{-8}=3x^2-{\displaystyle \frac{7}{x^8}}$

$\mathbf{\text{b)}}$ Reescribimos $f(x)=2x^4-{\displaystyle \frac{7}{x^3}}=2x^4-7x^{-3}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot 4x^3-7\cdot (-3)x^{-4}=8x^3+21x^{-4}=8x^3+{\displaystyle \frac{21}{x^4}}$

$\mathbf{\text{c)}}$ Como $\sqrt{10}$ es una constante, su derivada es $0$:

$f(x)=\sqrt{10}+3x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=0+3=3$

$\mathbf{\text{d)}}$ Reescribimos $f(x)=5x^5-3\sqrt[4]{x}+2\sqrt[3]{x^2}=5x^5-3x^{1\mathrm{/}4}+2x^{2\mathrm{/}3}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=5\cdot 5x^4-3\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^{-3\mathrm{/}4}+2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{-1\mathrm{/}3}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=25x^4-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^{-3\mathrm{/}4}+{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^{-1\mathrm{/}3}=25x^4-{\displaystyle \frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}}+{\displaystyle \frac{4}{3\sqrt[3]{x}}}$

$\mathbf{\text{e)}}$ $f(x)=4x^2+x+1$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4\cdot 2x+1+0=8x+1$

$\mathbf{\text{f)}}$ Reescribimos $f(x)=2\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{3}{x}}+4=2x^{1\mathrm{/}2}+3x^{-1}+4$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-1\mathrm{/}2}+3\cdot (-1)x^{-2}+0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}$