Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas I

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\ln x}}+e^x$

b) $f(x)=2\cdot \mathrm{sen}x$

c) $f(x)=\mathrm{sen}x+6$

d) $f(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{10}}$

e) $f(x)=\cos x+x^3$

Recordamos las derivadas inmediatas: $(e^x{)}^{\mathrm{\prime }}=e^x$, $(\ln x{)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $(\mathrm{sen}x{)}^{\mathrm{\prime }}=\cos x$, $(\cos x{)}^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{sen}x$, $(\mathrm{tg}x{)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$, $(\mathrm{arctg}x{)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$. Además, la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada, la de una suma es la suma de derivadas y la de una constante es $0$.

$\mathbf{\text{a)}}$ Como en el apartado d) más la derivada de $e^x$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x(\ln x{)}^2}}+e^x$.

$\mathbf{\text{b)}}$ Constante por seno: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cos x$.

$\mathbf{\text{c)}}$ Suma de $\mathrm{sen}x$ y la constante $6$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x$.

$\mathbf{\text{d)}}$ Es ${\displaystyle \frac{1}{10}}\cos x$ y $(\cos x{)}^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{sen}x$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{10}}$.

$\mathbf{\text{e)}}$ Suma de $\cos x$ y $x^3$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{sen}x+3x^2$.