Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas I

Calcula la derivada de la siguiente función:

$y=\sqrt[3]{x}(3x^2+6x)$

Es un producto $y=f\cdot g$ con $f=\sqrt[3]{x}=x^{1\mathrm{/}3}$ y $g=3x^2+6x$.

Derivadas de cada factor:

$f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^{-2\mathrm{/}3}={\displaystyle \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}$

$g^{\mathrm{\prime }}=6x+6$

Aplicamos la regla del producto $y^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}\cdot g+f\cdot g^{\mathrm{\prime }}$:

$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}(3x^2+6x)+\sqrt[3]{x}(6x+6)$

Ahora simplificamos. El primer sumando:

${\displaystyle \frac{3x^2+6x}{3\sqrt[3]{x^2}}}={\displaystyle \frac{3x^2+6x}{3x^{2\mathrm{/}3}}}=x^{4\mathrm{/}3}+2x^{1\mathrm{/}3}$

El segundo sumando:

$\sqrt[3]{x}(6x+6)=6x^{4\mathrm{/}3}+6x^{1\mathrm{/}3}$

Sumando ambos:

$y^{\mathrm{\prime }}=7x^{4\mathrm{/}3}+8x^{1\mathrm{/}3}=7x\sqrt[3]{x}+8\sqrt[3]{x}$

$\mathbf{\text{Comprobaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$ (desarrollando antes de derivar): $y=x^{1\mathrm{/}3}(3x^2+6x)=3x^{7\mathrm{/}3}+6x^{4\mathrm{/}3}$, así que $y^{\mathrm{\prime }}=3\cdot {\displaystyle \frac{7}{3}}{x}^{4\mathrm{/}3}+6\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^{1\mathrm{/}3}=7x^{4\mathrm{/}3}+8x^{1\mathrm{/}3}$, que coincide con el resultado anterior.