Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas I

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) $f(x)=4e^x$

b) $f(x)=e^x+5$

c) $f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{5}}$

d) $f(x)={\displaystyle \frac{2}{\ln x}}$

e) $f(x)={\displaystyle \frac{3-\ln x}{3}}$

Recordamos las derivadas inmediatas: $(e^x{)}^{\mathrm{\prime }}=e^x$, $(\ln x{)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $(\mathrm{sen}x{)}^{\mathrm{\prime }}=\cos x$, $(\cos x{)}^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{sen}x$, $(\mathrm{tg}x{)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$, $(\mathrm{arctg}x{)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$. Además, la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada, la de una suma es la suma de derivadas y la de una constante es $0$.

$\mathbf{\text{a)}}$ Constante por exponencial: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4\cdot (e^x{)}^{\mathrm{\prime }}=4e^x$.

$\mathbf{\text{b)}}$ Suma de $e^x$ y la constante $5$: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x+0=e^x$.

$\mathbf{\text{c)}}$ Es ${\displaystyle \frac{1}{5}}{e}^x$, constante por exponencial: $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot e^x={\displaystyle \frac{e^x}{5}}$.

$\mathbf{\text{d)}}$ Escribimos $f(x)=2(\ln x{)}^{-1}$ y aplicamos la regla de la cadena: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot (-1)(\ln x{)}^{-2}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}=-{\displaystyle \frac{2}{x(\ln x{)}^2}}$.

$\mathbf{\text{e)}}$ Separamos: $f(x)={\displaystyle \frac{3-\ln x}{3}}=1-{\displaystyle \frac{\ln x}{3}}$. La constante $1$ deriva $0$, luego $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}=-{\displaystyle \frac{1}{3x}}$.