Ejercicio resuelto de Funciones y continuidad · Matemáticas I

Halla el valor de $k$ para que $f(x)$ sea continua en $x=-1$:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+5& \text{si }x\le -1\\ k& \text{si }x>-1\end{array}$

Para que $f$ sea continua en $x=-1$ deben coincidir los límites laterales y el valor de la función:

${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=f(-1)$

$\mathbf{\text{L}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{izquierda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto:}}$

Para $x\le -1$ la función es $f(x)=2x+5$, así que:

${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to -1^{-}}(2x+5)=2\cdot (-1)+5=3$

$f(-1)=2\cdot (-1)+5=3$

$\mathbf{\text{L}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derecha:}}$

Para $x>-1$ la función vale $f(x)=k$, una constante, luego:

${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to -1^{+}}k=k$

$\mathbf{\text{Imponemos}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad:}}$

Igualamos el límite por la derecha al valor común por la izquierda:

$k=3$

Por tanto, para $k=3$ la recta $y=2x+5$ enlaza exactamente con la constante $y=3$ en el punto $(-1,3)$ y la función es continua en $x=-1$.