Ejercicio resuelto de Funciones y continuidad · Matemáticas I

Dada la gráfica de $f(x)$:



$\mathbf{\text{a)}}$ ¿Es continua en $x=1$?

$\mathbf{\text{b)}}$ ¿Y en $x=2$?

Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.

Para estudiar la continuidad de una función en un punto $x=a$ aplicamos la definición: $f$ es continua en $a$ si se cumplen las tres condiciones siguientes:

$1)\mathrm{\exists }f(a);2)\mathrm{\exists }{\lim }_{x\to a}f(x);3){\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}x=1\mathbf{\text{?}}$

Observando la gráfica, en $x=1$ la curva no presenta ni saltos ni huecos: la función está definida, los límites laterales coinciden y su valor común es igual a la imagen. Es decir,

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$

Se cumplen las tres condiciones, luego $f$ es continua en $x=1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}x=2\mathbf{\text{?}}$

En $x=2$ la gráfica presenta un hueco (un punto vacío). Los límites laterales existen y coinciden:

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2}f(x)=4$

pero la función no está definida en ese punto, es decir, no existe $f(2)$. Falla la primera condición de la definición, mientras que el límite sí existe; por tanto la discontinuidad es EVITABLE (o reparable): bastaría con definir $f(2)=4$ para que la función fuera continua.

En conclusión, $f$ NO es continua en $x=2$: presenta una discontinuidad evitable.